Question

在直角三角形ABC中，已知角C=90度角A=30度，在直线AC或者BC上找P，是三角形PAB是等腰三角形，则满足条...

在直角三角形ABC中，已知角C=90度角A=30度，在直线AC或者BC上找P，是三角形PAB是等腰三角形，则满足条件的P有几个？求过程

Answer 1

答案为6点。由于所求三角形为PAB等腰三角形，所以，分别有一边作为底边考虑。
第一、这情况最容易想到。当AB为底边时，由于为等腰三角形，故第三点经过其AB中垂线，故作其中垂线，可交得BC AC各一点（点1,2)。此为二点。
第二、当AP为底边时，此时因为BA=BP,故可以为B点为圆心，以R=BA为半径，可分别与BC 、AC交得点（3、4）。
第三、当BP为底边时，同理，由于连长AB=AP,故可以为A点为圆心，以R=AB为半径，可分别与BC 、AC交得点（5、6）。
故可得6点。上面主面以几何作图法示之。具体请动手画一下，就明白啦。

Answer 2

因为AB是直角三角形ABC的斜边，即最长边，因此三角形两条直角边上只可能有一点P
其余可能都在边的延长线上。
P不可能在线段BC上，因为直角三角形ACP中AP是斜边，AB>AP>AC>BC(角A=30度，所以AC=√3 BC)，构不成等腰三角形；
P在AC上时，若AP=PB，AP+PC=AC，BC²+PC²=PB²，可解P的位置
当P在CA的延长线上时，存在P，使PA=AB
当P在AC的延长线时，存在P,使PA=AB
当P在CB的延长线上时，存在P,使BP=AB
当P在BC的延长线上时，存在P，使PB=PA，由于角B=60°，所以此时为等边三角形，因此这方向的延长线上也不存在其他的可能了
所以一共是5个P点