Question

函数f(x)满足:①对任意x∈(0,+∞),恒有f(2x)=2f(x)成立;②当x∈(1,2],f(x)=2-x

若f(a)=f(2020), 满足条件的最小正实数a是?

Answer 1

容易得出当x∈(2,4],f(x)=2f(x/2)=2(2-x/2)=4-x，
类似推理或用数学归纳法可以证明
当x∈（2^n, 2^(n+1)] , f(x)=2^(n+1)-x，n∈Z
f(2020)=2^11-2020=28 (此时n=10)
f(a)=f(2020)=28=2^(n+1)-a a∈（2^n, 2^(n+1)] n∈Z
a+28=2^(n+1) n∈Z
n=4 ，a=4,与a∈（16, 32]矛盾，舍去。
n=5 ，a=36,与a∈（32, 64]相符
所以a有最小最小正实数a=36，此时n=5

Answer 2

f(2020)=2*f(1010)=4*f(505)=……=1024*f(2020/1024)
f(2020/1024)=2-2020/1024
∴f(2020)=1024*（2-2020/1024）=28
f(a)=2f(a/2)=2^n*f(a/2^n)=2^n*(2-a/2^n)=2^n+1-a=28
当n=5时,a=64-28=36
即f(36)=f(2020)=28
a最小为36

Answer 3

最小正实数a=36，解法如下：

对比f(x)=2-x我们知道，所有的算法都要将X换算在∈(1,2]的某个数
同理请自己推理f(2^Kx)=2^Kf(x)，意思也就是
F（2的K次方被X） 这么个数可以换算为 2的K次方被F(x)
因为2的N次方中，1024然后是2048因此为了算出f(2020)，可以做如下换算：
f(2020)=f(1024*（2020/1024）)，也就是2020=1024乘以1024分之2020，
因为2020/1024∈(1,2]，并且以上:①②
所以f(2020)=f(1024*（2020/1024）)=1024*f(2020/1024)=1024*(2-2020/1024)=28
以上算出f(2020)=28

同样2的N次方中有个数为32
所以28=32*(28/32)
而28/32=2-36/32=f(36/32)
所以28=32*f(36/32)=f(32*36/32)=f(36)
所以a=36