Question

设a.b.c都为正数，证明不等式a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b)≥1/2(a+b+c)

①若利用幂分拆不等式该如何做？
②为何[a^2/(b+c)+a]+[b^2/(c+a)+b]+[c^2/(a+b)+c]≥3/2(a+b+c)?
不等式证明的基本方法L5-2-9

Answer 1

证明：因为:(b+c)/4+a^2/(b+c)≥2√(b+c)[a^2/(b+c)]/4=a;
同理：(c+a)/4+b^2/(c+a)≥b;
(a+b)/4+c^2/(a+b)≥c
以上三式相加得：(a+b+c)/2+a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b)≥a+b+c)
移项即： a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b)≥1/2(a+b+c)