Question

设f(x)在x=0的邻域内有三阶导数,且x->0时，lim(1+x+f(x)/x)^(1/x)=e^3。求（1）：f(0),f'(0).f''(0)

求（2）lim(1+f(x)/x)^(1/x).

Answer 1

1、条件等价于ln(1+x+f(x)/x)/x的极限是3。显然f(0)=0。另外，由于分母x趋于0，因此分子ln函数必趋于0，于是得x+f(x)/x趋于0，f(x)/x趋于0，即[f(x)－f(0)]/(x－0)趋于0，于是f'(0)=0。
利用Taylor展式得f(x)/x=f''(0)x^2/2+小o(x^2)，因此
ln(1+x+f(x)/x^2)等价于x+f''(0)x/2，故极限值为1+f''(0)/2=3，解得f''(0)=4。
2、lim ln(1+f(x)/x)/x=lim ln(1+f''(0)x/2+小o(x))/x=lim 【f''(0)x/2+小o(x)】/x=f''(0)/2=2。
因此原极限为e^2