Question

已知数列{an}是等差数列。a3=10,a6=22数列{bn}的前n项和为Sn且Sn+1/3bn=1求{an}的通项公式 证明{bn}是等比

已知数列{an}是等差数列。a3=10,a6=22数列{bn}的前n项和为Sn且Sn+1/3bn=1（一）求{an}的通项公式 （二）证明{bn}是等比，（三）记cn=an×bn，求证c(n+1)＜cn
重点是第三问！！

Answer 1

（一）a6-a3=3d，d=4，a1=10-8=2，an=4n-2；
（二）Sn+bn/3=1，S(n-1)+b(n-1)/3=1，前式减后式得：4bn/3-b(n-1)/3=0，bn/b(n-1)=1/4，b1=3/4，{bn}是首项为3/4，公比q=1/4的等比数列；
（三）cn=an×bn=3(4n-2)/4^n，c(n+1)=3(4n+2)/4^(n+1)，c(n+1)/cn=(4n+2)/4(4n-2)=1/4+1/(4n-2)，1/(4n-2)≤1/2，则c(n+1)/cn≤1/4+1/2=3/4＜1，c(n+1)＜cn成立。

Answer 2

（一）由于an是等差数列，设其公差为d,则有a6-a3=3d=12，d=4，a1=10-8=2，an=4n-2；
（二）因为Sn+bn/3=1，那么n-1也应该满足，则有S(n-1)+b(n-1)/3=1，前式减后式得：4bn/3-b(n-1)/3=0，bn/b(n-1)=1/4，b1=3/4，{bn}是首项为3/4，公比q=1/4的等比数列；
（三）cn=an×bn=3(4n-2)/4^n，c(n+1)=3(4n+2)/4^(n+1)，c(n+1)/cn=(4n+2)/4(4n-2)=1/4+1/(4n-2)，1/(4n-2)≤1/2，则c(n+1)/cn≤1/4+1/2=3/4＜1，c(n+1)＜cn成立。

Answer 3

an = 2 + 4n, bn = 3 * (1/4)^n
c(n+1) - cn = 3 * (6 + 4n) * (1/4)^(n+1) - 3 * (2 + 4n) * (1/4)^n
= [(4.5 + 3n) - (6 + 12n)] * (1/4)^n < 0