Question

讨论线性代数方程组解的情况

Answer 1

增广矩阵 (A, b) =
[1 1 -2 3 0]
[2 1 -6 4 -1]
[3 2 a 6 -2]
[1 -1 -6 -2 b]
行初等变换为
[1 1 -2 3 0]
[0 -1 -2 -2 -1]
[0 -1 a+6 -3 -2]
[0 -2 -4 -5 b]
行初等变换为
[1 0 -4 1 -1]
[0 1 2 2 1]
[0 0 a+8 -1 -1]
[0 0 0 -1 b+2]
当 a ≠ -8 时， r(A, b) = r(A) = 4,
方程组有唯一解。
当 a = -8 时，进一步行初等变换为
[1 0 -4 0 -2]
[0 1 2 0 -1]
[0 0 0 1 1]
[0 0 0 0 b+3]
当 b ≠ -3 时， r(A, b) = 4， r(A) = 3,
方程组有无解。
当 a = -8，b = -3 时， r(A, b) = r(A) = 3 < 4
方程组有无穷多解：
方程组同解变形为
x1 = -2 + 4x3
x2 = -1 - 2x3
x4 = 1
取 x3 = 0， 得特解 (-2 -1 0 1)^T,
导出组即对应的齐次方程是
x1 = 4x3
x2 = - 2x3
x4 = 0
取 x3 = 1， 得基础解系 (4 -2 1 0)^T,
此时方程组的通解是
x = (-2 -1 0 1)^T+k (4 -2 1 0)^T，
其中 k 为任意常数。