Question

AD是直角三角形ABC的斜边BC上的高线，角ABD的平分线交AC于E，角CAD的平分线交BE于F，求证AF＝DF

Answer 1

证明:设AD和BE交于M,
那么∠AME=∠MAB+∠ABM,∠AEM=∠EBC+∠ECB,
又∠MAB=∠ECB,∠ABM=∠EBC,
所以∠AME=∠AEM,三角形AME是等腰三角形,AM=AE.
AF平分∠EAM,那么AF垂直EM.条件中AD又垂直BD,
那么A,B,D,F四点共圆,那么∠ADF=∠ABF,
又∠ABF=∠EAF=∠FAD,所以∠ADF=∠FAD,
所以三角形ADF是等腰三角形,所以AF＝DF.

Answer 2

BE交AD于H,延伸AF交BC于G
∠AEB=90-∠ABE=90-∠EBC=∠BHD=∠AHE
所以三角形AHE为等腰三角形
AF平分∠EAH，所以AF⊥BE
∠AFB=∠ADB=90，说明，AFDB四点共圆，
所以∠ADF=∠ABH=∠DAF
所以三角形ADF为等腰三角形
AF=DF