Question

高数讨论函数y=xˇ3(1-x)的单调区间极值凹凸区点拐点

Answer 1

首先，这个函数是定义域上可导的；而且可以一直求出三阶导数；
f'(x)=3x^2(1-x)-x^3=x^2(3-4x);令其等于0；得:f'(3/4)=0;f'(0)=0.也就是这两个数有可能是极值,单调区间(-*,3/4) 单增，(3/4,+*)单下降，这个地方就能判断f(3/4)极大，f(0)不是极值；
再求二阶导数 f''(x)=2x(3-4x)-4x^2=x(6-12x);f"(0)=0，不能确定;f"(3/4)<0;所以f(3/4)是极大值。
并且f"(x)=0;又得f''(0)=0;f"(1/2)=0;这两个可能是拐点；
f"'(x)=6-12x-12x=6-24x;
f'''(0)=6>0,所以f"(0-)<0;f"(0+)>0;是拐点；
f'''(1/2)=-6<0;所以f"(1/2-)>0;f"(1/2+)<0;所以也是拐点；
x -,0 0 0,1/2 1/2 1/2, 3/4 3/4 3/4,+
f'''(x) + -
f''(x) - 0 + 0 - - -
f'(x) + 0 + + + 0 -
f(x) 增 增 增 增 增 极大 减
所以最后(-,0)；f"(x)<0;凸区间
(0,1/2);f"(x)>0;凹
(1/2,+);f"(x)<0;凸
这个地方应该包括拐点；不太好打(-,0]U[1/2,+);[0,1/2]