Question

已知函数fx＝lnx-ax(x＞1)求fx单调区间

2。设函数gx＝x比lnx(x＞1)，试证明a属于e分之一到一时gx-fx＞2恒成立

Answer 1

f'(x)=1/x-a
x＞1,所以0<1/x<1
分类讨论：
若a>=1,则f'(x)<0恒成立 f(x)单调递减区间为（1，+##）
若0<a<1,则令f'(x)=0有x=1/a，f(x)单调递曾区间为（1，1/a）,f(x)单调递减区间为（1/a，+##）
若a<=0,则f'(x)>0恒成立 f(x)单调递曾区间为（1，+##）
令u(a)=gx-fx-2=x/lnx-lnx+ax-2
u'(a)=x>0
即证umin(a)=u(1/e)=x/lnx-lnx+x/e-2>0恒成立。
令t(x)=x/lnx-lnx+x/e-2(x＞1)
令t'(x)=(lnx-1)/ln^2(x)-1/x+1/e=0
则x=e
tmin(x)=t(e)=e-2>0
得证
最小值u(x)=u(1)=1-0+a-2=a-1