Question

关于定积分中的积分和式极限

能具体讲一下积分和式极限的思想和运用么？
谢谢！

Answer 1

定积分是微积分的重要概念。德国数学家黎曼首先给予严格表述，故又称“黎曼积分”。

定积分的本质是和式的极限。将函数定义域上区间 [a,b] 分成多个小区间，将函数在每个小区间上任一点的函数值 f(ξi) 与小区间宽度 Δxi 的乘积求和，在小区间宽度趋于零时，如果该和式的极限存在，则称此极限值为函数在此区间的定积分。在几何意义方面表现为介于 x 轴、函数图形及直线x=a、x=b 之间各部分曲边梯形面积的代数和。

从定积分的定义可以看出，它是建立在极限概念基础上的。有限区间 [a,b] 被细分成 n 个区间，区间宽度 Δx 趋于 0 时，区间数量 n 趋于 ∞，和式极限趋于一个定值。无穷细分（Δx→0）似乎不可能，无穷多个值求和 (i=1→∞)∑f(ξi)Δxi 似乎不可能，但是借助极限概念变成可能，体现了由分到合、由无限到有限转化的思想。

definite integral 译为“定积分”一词，正是体现了这种思想。先细分，后求积并累加，最后得到定值。用字如此精炼的第一个译者，必是领会其思想之精髓。