Question

【初三数学】如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成

【初三数学】如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．
（1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？ (答案:48mm)
（2）若这个矩形的长是宽的2倍，则边长是多少？(答案①宽30mm，长60mm②宽240/7mm，长480/7mm)
(3)当PN的长为多少时？矩形PNMQ的面积最大，最大面积是多少？？？

Answer 1

(1)设正方形边长为x，
AE=80-x，PN=ED=x
△APN∽△ABC
（80-x）/x=80/120，
x=48
（2）①设PN=x，MN=2x
（80-2x）/x=80/120，
x=30，长=60mm，宽=30mm，
②设PN=2x，MN=x，
（80-x）/2x=80/120
x=240/7, 长480/7（mm），宽240/7（mm）。
（3)设PN=x，AE=2x/3
MN=80-2x/3
矩形面积S=x（80-2x/3）
=-2x²/3+80x
=-2/3（x²-120x+3600）+2400
=-2/3（x-60）²+2400
当PN=60mm，
矩形最大面积S=2400（mm²）

Answer 2

1、设PQ=PN=a，则AD/BC=AE/PN=(AD-DE)/PN=(AD-PQ)/PN，
带入数值得80/120=(80-a)/a，解得a=48。
2、（1）设PQ=2a，PN=a，同1，AD/BC=AE/PN=(AD-DE)/PN=(AD-PQ)/PN，
带入数值得80/120=(80-2a)/a，解得a=30，那么PQ=60，PN=30；
（2）设PQ=a，PN=2a，同1，AD/BC=AE/PN=(AD-DE)/PN=(AD-PQ)/PN，
带入数值得80/120=(80-a)/2a，解得a=240/7，那么PQ=240/7，PN=480/7；
3、设PN=a，因为AD/BC=AE/PN=(AD-DE)/PN=(AD-PQ)/PN=(80-PQ)/a=80/120=2/3，
所以PQ=2(120-a)/3，那么矩形面积=PQ×PN=2(120a-a²)/3=2400-2(a²-120a+3600)/3
=2400-3(a-60)²/2，故面积最大时a=60，最大面积为2400。

追问

(3)PN怎么就等于120了？

追答

PN=a，AD/BC=80/120，第三问的时候没有单独写 带入数值 而是直接把数值代入到等式中了。