Question

已知3abc-a^3-b^3-c^3=0,证明a+b+c=0 怎么证明。。。

RT

Answer 1

证:

a^3+b^3+c^3-3abc=0

(a+b)(a^2-ab+b^2)+c(c^2-3ab) =0

(a+b)(a^2-ab+b^2)+c(c^2-3ab+a^2-ab+b^2-a^2+ab-b^2)=0

(a+b)(a^2-ab+b^2)+c[(c^2-a^2-2ab-b^2)+(a^2-ab+b^2=0

(a+b)(a^2-ab+b^2)+c[c^2-(a+b)^2]+c(a^2-ab+b^2)=0(a+b+c)(a^2-ab+b^2)+c(a+b+c)(c-a-b)=0

(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=0

(a+b+c)[1/2(a-b)^2+1/2(b-c)^2+1/2(a-c)^2]=0

显然还必须abc互不相等才有

1/2(a-b)^2+1/2(b-c)^2+1/2(a-c)^2>0

a+b+c=0

有关性质：

（1）任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数，这是绝对值的非负性。

（2）绝对值等于0的数只有一个，就是0。

（3）绝对值等于同一个正数的数有两种，这两个数互为相反数或相等。

（4）互为相反数的两个数的绝对值相等。

（5）正数的绝对值是它本身。

Answer 2

证:
a^3+b^3+c^3-3abc=0
(a+b)(a^2-ab+b^2)+c(c^2-3ab) =0
(a+b)(a^2-ab+b^2)+c(c^2-3ab+a^2-ab+b^2-a^2+ab-b^2)=0
(a+b)(a^2-ab+b^2)+c[(c^2-a^2-2ab-b^2)+(a^2-ab+b^2=0
(a+b)(a^2-ab+b^2)+c[c^2-(a+b)^2]+c(a^2-ab+b^2)=0(a+b+c)(a^2-ab+b^2)+c(a+b+c)(c-a-b)=0
(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=0
(a+b+c)[1/2(a-b)^2+1/2(b-c)^2+1/2(a-c)^2]=0
显然还必须abc互不相等才有
1/2(a-b)^2+1/2(b-c)^2+1/2(a-c)^2>0
a+b+c=0

Answer 3

3abc-a^3-b^3-c^3=0
a^3+b^3+c^3-3abc =0
[( a+b)^3-3a^2b-3ab^2]+c^3-3abc=0
[(a+b)^3+c^3]-(3a^2b+3ab^2+3abc)=0
(a+b+c)[(a+b)^2-(a+b)c+c^2]-3ab(a+b+c)=0
(a+b+c)(a^2+b^2+2ab-ac-bc+c^2)-3ab(a+b+c) =0
(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)=0
所以a+b+c=0