Question

帮我解道数学题，谢谢！

如图，抛物线y=x²-2x-3与x轴交与A、B两点（A在B左侧），直线l与抛物线交与A、C两点，其中C点的横坐标为2.
（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数关系式。
【答：A（-1,0）B（3,0）C（2，-3） 抛物线解析式y=-x-1】
（2）P是线段AC上的一个动点，过P作y轴的平行线交抛物线于E点，链接AE、EC，求△AEG的面积S的最大值，并求出此时点P的坐标。
【答：最大值为27/8 P（1/2，-3/2）】

{以下是我要求的问题}
（3）点G是抛物线上的动点，在X轴上是否存在点F，使以A、C、F、G为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，写出所有满足条件的点F坐标，如果不存在，请说明理由。
【存在，共有四个点，我要求详细过程！！！！】

Answer 1

令y=0，即X²-2X-3=0
（x+1）（x-3）=0
x=-1 或3
即A（-1，0），B（3，0）
1
将x=2代入抛物线Y=X²-2X-3，得y= -3，即C（2，-3）

设直线AC的解析式为y= kx+b
将A、C坐标分别代入直线方程，可得
0=-k+b
-3=2k+b
解得 k=-1，b=-1
所以直线AC的解析式为y= -x-1

2
）设P点的横坐标为x（-1≤x≤2）（注：x的范围不写不扣分）
则P、E的坐标分别为：P（x，-x-1），E（x，x2-2x-3）
∵P点在E点的上方，PE=（-x-1）-（x2-2x-3）=-x2+x+2，
∴当x=12时，PE的最大值=94．

3
设G点的坐标为(x1,yI)
G点在X轴上方时，
则F点的坐标为（x1+y1,0），因为F点在X轴上，所以GC平行X轴，所以G点的坐标为（(x1,3）,代人抛物线y=x²-2x-3
x²-2x-3=3，解得x1=根号7+1或x1=-根号7+1，所以F点的坐标为(根号7+4,0),(-根号7+4,0)
G点在X轴下方时，
G点为C点的关于X=1的对称点，即（0，-3），
CG的长度为2，所以AF的长度也为2，所以F点的坐标为(-3,0) , (1,0)

Answer 2

设G点的坐标为(x1,yI)
G点在X轴上方时，
则F点的坐标为（x1+y1,0），因为F点在X轴上，所以GC平行X轴，所以G点的坐标为（(x1,3）,代人抛物线y=x²-2x-3
x²-2x-3=3，解得x1=根号7+1或x1=-根号7+1，所以F点的坐标为(根号7+4,0),(-根号7+4,0)
G点在X轴下方时，
G点为C点的关于X=1的对称点，即（0，-3），
CG的长度为2，所以AF的长度也为2，所以F点的坐标为(-3,0) , (1,0)