Question

什么是f（x）在x0处连续？？如何证明？？

Answer 1

在x0处连续就是满足两个条件
①f(x0)存在（也就是x0在f(x)的定义域里面）
②极限lim(x→x0)f(x)=f(x0)

第②极限表达式可以用严格的微积分语言写成任给ε>0，存在δ>0，使得只要|x-x0|<δ，就有
|f(x)-f(x0)|<ε。也就是只要x和x0距离不太远，f(x)和f(x0)距离就也不太远。
于是证明方面，自然就有第一种思路，就是用下面的定义证明。任给一个ε>0，你去把
|f(x)-f(x0)|<ε式子化简，如果找到了一个δ是|f(x)-f(x0)|<ε成立的充分条件（注意ε是给定的，相当于已知数，x0是已知数，找出的这个δ只要是ε和x0的表达式，就算是找出来了），那么就证明了连续。
上面太抽象了，举个简单的例子：证明y=x²在任意x=x0点连续。
先给一个ε>0，然后写出|x²-x0²|<ε，再去找它的充分条件（注意是找充分条件，比较好办，可以人为增加限定条件，不像解不等式那样非要很严格等价转化）。|x²-x0²|=|(x-x0)||x+x0|我限定|x-x0|<1，那么|x+x0|<|2x0+1|，所以|(x-x0)||x+x0|<|x-x0||2x0+1|。我们的目的是让|x²-x0²|<ε，而|(x-x0)||x+x0|<|x-x0||2x0+1|，所以|x-x0||2x0+1|<ε的时候，|x²-x0²|就更比ε小了，这就是必要条件。
|x-x0||2x0+1|<ε得到|x-x0|<ε/|2x0+1|。所以必要条件就彻底找到了，是上面的人为限定条件|x-x0|<1加上|x-x0|<ε/|2x0+1|这两者同时满足。所以我就可以说取δ为1和ε/|2x0+1|两者中最小的，就有|x-x0|<δ时|f(x)-f(x0)|<ε，于是找到了δ，它不管等于1还是等于ε/|2x0+1|，都是已知数。就证完了。

当然每个都用定义证明太麻烦，一般来说有现成的结论，就是所有初等函数在其定义域都是连续的。初等函数就是六类基本初等函数经过有限次（一定是有限次，无限次不一定了）四则运算与复合得到的。只要看看题目给的函数能不能化为基本初等函数的上述运算，能就可以了。这个还提供了一种算极限的方法，就是只要证明了f(x)在x0连续，那么题目让你算极限lim(x→x0)f(x)，只要把x0代入f表达式算出f(x0)就可以了。
也举个例子吧，比如证明y=1/sinx在有定义的任意x0连续。考察这个函数，是y=1/u和u=sinx的复合函数，而y=1/u是幂函数，u=sinx是三角函数，都是基本初等函数，两个基本初等函数复合还是初等函数，由初等函数连续性知道y=1/sinx连续。

Answer 2

即在x0处有导数