Question

求圆X^2+Y^2-4=0与圆X^2+4X+4Y-12=0的公共弦的长是？

Answer 1

解：
两圆方程：
x²+y²=4
x²+y²+4x+4y=12
把上面两个方程相减，就得公共弦所在的直线方程：
x+y-2=0
易知，该直线被圆：x²+y²=4所截的弦长即是公共弦的长。
该圆圆心O(0,0), 半径r=2.
弦心距d=√2,(即圆心O(0,0)到直线x+y-2=0的距离)
∴设弦长为x,由垂径定理及勾股定理可得：
r²=d²+(x/2)²
∴x/2=√(r²-d²)=√2
∴x=2√2
即公共弦长=2√2

Answer 2

楼上复制的，所以有点小错误，现纠正如下：
设公共弦为AB
x²+y²-4=0 ……①
x²+y²+4x+4y-12=0 ……②
① － ②，得：
-4x-4y+8=0 ……③
即：x+y-2=0，这就是公共弦所在的直线。
圆x²+y²-4=0圆心为O(0，0)，半径r=2
圆心O到公共弦的距离为
d=2/√2=√2
∴|AB|/2=√(r²-d²)=√2
∴|AB|=2√2

Answer 3

设公共弦为AB
x²+y²-4=0 ……①
x²+y²-4x+4y-12=0 ……②
① － ②，得：
4x-4y+8=0 ……③
即：x-y+2=0，这就是公共弦所在的直线。 (不懂的话，看下面的备注)
圆x²+y²-4=0圆心为O(0，0)，半径r=2
圆心O到公共弦的距离为
d=2/√2=√2
∴|AB|/2=√(r²-d²)=√2
∴|AB|=2√2

备注：
设方程组的根为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴A可以代入①、②中
再用①－②，得4x1-4y1+8=0，即x1-y1+2=0
同理可得x2-y2+2=0
∴A(x1，y1)，B(x2，y2)同时满足方程x-y+2=0
∴AB在直线x-y+2=0上