Question

函数导数应用的问题，希望帮忙求解的朋友写出详细的过程

设函数g(x)=x^3x(1/3)-x^2xax(1/2)+1,过y轴上一点（0，3）可作该曲线三条不同的切线，求a的取值范围
可作该曲线三条不同的切线，也可以理解为三条切线，但是据我所理解，能做切线且不同的最多2条，如果还有第3条切线，那么这3条切线中，必然有条切线与该曲线内切，必然有条切线与该曲线外切，内切线和外切线中，必然有一条和该曲线相交。
所以理解起来 有点难度，希望求解的朋友写出细致的过程，时间非常急迫

Answer 1

函数可不可以写得明白一点，x^3x(1/3)-x^2xax(1/2)这两项看不明白啊？
平沙落雁9530的回答前面没有问题，但讨论部分不对
得到新函数f(x)=2x^3/3-ax^2/2-2该函数与x轴应有3个交点,f'(x)=2x^2-ax
导函数的判别式小于等于0时，导函数恒大于等于0，f(x)为单调递增函数，所以与x轴只有一个交点，不符合题意。
导函数的判别式大于0即a>0时，f'(x)=2x^2-ax=2x（x-a/2），f(x)两个极值点为0（极大值），a/2（极小值）。且函数在x趋近于负无穷时函数值为负无穷，f(0)=2(极大值)，f(a/2)(极小值)，x趋近于正无穷时函数值为正无穷，只有使f(a/2)<0才能保证f(x)与x轴有三个交点。所以解得a>2*三次根号下6。

Answer 2

看图片

追问

上面的3分之一x的立方为什么下面变成了3分之2x的立方了？？

追答

看图，后面有误，不好意思，好久没做高中题了，极大值和极小值弄反了，a>0时应该是f(a/2)2³√6