Question

设向量a，向量b为两个不共线非零向量。

设向量a，向量b为两条不共线非零向量，t属于R，求(1)：若向量a和向量b起点相同，则t为何值时，向量a，t*向量b，1/3(a+b)终点在同一直线上。(2)若向量a的模等于向量b的模，且向量a向量b夹角为60度，则t为何值时，（向量a）-（t*向量b）的模最值最小

Answer 1

1.设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则有
tb=(t*x2,t*y2),1/3(a+b)=(1/3(x1+x2),1/3(y1+y2)).
由于三向量终点共线，则存在实数N使得
tb-a=N(1/3(a+b)-a)
即 tx2-x1=N(1/3(x1+x2)-x1)
ty2-y1=N(1/3(y1+y2)-y1)
解得 N可为2/3的倍数，t=1/22.要求摸,可先求摸的平方,即
|a-tb|^2=a^2+t^2*a^2-2tab,把其中一个用另一个表示化减得
|a-tb|^2=(t^2-t+1)a^2
因为t^2-t+1恒大于0，当T=1/2时取得最小值(根号3)/2

Answer 2

(1)
a，t*向量b，1/3(a+b)终点在同一直线上
for k1+k2=1
1/3(a+b) = k1a+ k2tb
=> k1=1/3 and k2t=1/3
k1+k2=1
1/3 + 1/(3t) =1
t=1/2
ie t=1/2, a，t*向量b，1/3(a+b)终点在同一直线上

(2)
|a|=|b|, a,b夹角为60°
|a-tb|^2
=|a|^2+t^2|b|^2 -2t|a||b|cos60°
=|a|^2(t^2-t+1)
= |a|^2[(t-1/2)^2+3/4)
min |a-tb| at t=1/2
min |a-tb| = √3|a|/2