Question

三角形ABC的三个内角A、B、C成等差数列，A、B、C的对边分别为a、b、c

求1/（a+b）+1/（b+c）=3/（a+b+c）
证明题

Answer 1

证明：A+B+C=180°，2B=A+C=180°-B，则B=60°；
则由余弦定理可知：cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)=cos60°=1/2
即(a²+c²-b²)/(2ac)=1/2
a²+c²-b²=ac
a²+c²=ac+b²
a²+c²+ab+bc=ac+b²+ab+bc
c(b+c)+a(a+b)=a(b+c)+b(b+c)=(a+b)(b+c)
[c(b+c)+a(a+b)]/[(a+b)(b+c)]=1
[c/(a+b)]+[a/(b+c)]=1
[c/(a+b)]+1+[a/(b+c)]+1=1+1+1
[c/(a+b)]+[(a+b)/(a+b)]+[a/(b+c)]+[(b+c)/(b+c)]=3
[(a+b+c)/(a+b)]+[(a+b+c)/(b+c)]=3
[1/(a+b)]+[1/(b+c)]=3/(a+b+c)

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A+B+C=180，A+C=2B可得，B=60
原式通分化简
3（a+b)(b+c)=(a+b+c)(a+2b+c)
继续化简消项
即证明b²-c²-a²+ca=0
由于B=60，根据余弦定理，带入可得
b²=c²+a²-2ca*cos 60即为b²=c²+a²-ca
命题得证