Question

a＞0 b＞0 a+b＝1 求证：a的4次方+b的4次方≥1/8

Answer 1

证：
a+b=1
a>0，b>0，由均值不等式得：2√(ab)≤a+b
ab≤[(a+b)/2]²=(½)²=¼
a⁴+b⁴
=(a²+b²)²-2a²b²
=[(a+b)²-2ab]²-2a²b²
=(1-2ab)²-2a²b²
=1-4ab+4a²b²-2a²b²
=2a²b²-4ab+1
=2a²b²-4ab+2-1
=2(ab-1)²-1
ab≤¼
ab-1≤-¾
(ab-1)²≥(-¾)²=9/16
2(ab-1)²-1≥2·9/16 -1=⅛
a⁴+b⁴≥⅛，不等式成立。