Question

一道数学题，求高手指点。告诉我具体思路，在线等。谢谢。。

设有A,B,C,D四个未知数，有以下等式：
3.5A + 4.4B + 5.0C+ 5.5D = 4.62

A+B+C+D=100
求 当1.6A + 1.2B + 0.9C + 0.8D 为最大值时 A,B,C,D的值为多少?
A+B+C+D=1 A,B,C,D,均大于等于0. 我说明一下，我已经在工作了。可以理解为办会员卡，级别越高你的优惠越多，相反后面的式子1.6A + 1.2B + 0.9C + 0.8D 你会员的卡的级别越高，你优惠多了我赚的就少了。所以就是满足客户要有那么多优惠的情况下，我能够赚得最多权重如何分配。求指点。谢谢。。

Answer 1

这是线性规划问题

对于一般线性规划问题： 图解法解线性规划问题Min z=CX
　　S.T.
　　AX =b
　　X>=0
　　其中A为一个m*n矩阵。
　　若A行满秩
　　则可以找到基矩阵B，并寻找初始基解。
　　用N表示对应于B的非基矩阵。则规划问题1可化为：
　　规划问题2：
　　Min z=CB XB+CNXN
　　S.T. 线性规划法解题B XB+N XN = b (1)
　　XB >= 0, XN >= 0 (2)
　　(1)两边同乘于B-1，得
　　XB + B-1 N XN = B-1 b
　　同时，由上式得XB = B-1 b - B-1 N XN，也代入目标函数，问题可以继续化为：
　　规划问题3：
　　Min z=CB B-1 b + ( CN - CB B-1 N ) XN
　　S.T.
　　XB+B-1N XN = B-1 b (1)
　　XB >= 0, XN >= 0 (2)
　　令N:=B-1N，b:= B-1 b，ζ= CB B-1b，σ= CN - CB B-1 N，则上述问题化为规划问题形式4：
　　Min z= ζ + σ XN
　　S.T.
　　XB+ N XN = b (1)
　　XB >= 0, XN >= 0 (2)
　　在上述变换中，若能找到规划问题形式4，使得b>=0，称该形式为初始基解形式。
　　上述的变换相当于对整个扩展矩阵（包含C及A） 乘以增广矩阵 。所以重在选择B，从而找出对应的CB。
　　若存在初始基解
　　若σ>= 0
　　则z >=ζ。同时，令XN = 0，XB = b，这是一个可行解，且此时z=ζ，即达到最优值。所以，此时可以得到最优解。
　　若σ >= 0不成立
　　可以采用单纯形表变换。
　　σ中存在分量<0。这些负分量对应的决策变量编号中，最小的为j。N中与j对应的列向量为Pj。
　　若Pj <=0不成立
　　则Pj至少存在一个分量ai，j为正。在规划问题4的约束条件（1）的两边乘以矩阵T。
　　T=
　　则变换后，决策变量xj成为基变量，替换掉原来的那个基变量。为使得T b >= 0，且T Pj=ei（其中，ei表示第i个单位向量），需要：
　　l ai，j>0。
　　l βq+βi*(-aq,j/ai,j)>=0，其中q!=i。即βq>=βi/ ai,j * aq,j。
　　n 若aq,j<=0，上式一定成立。
　　n 若aq,j>0，则需要βq / aq,j >=βi/ ai,j。因此，要选择i使得βi/ ai,j最小。
　　如果这种方法确定了多个下标，选择下标最小的一个。
　　转换后得到规划问题4的形式，继续对σ进行判断。由于基解是有限个，因此，一定可以在有限步跳出该循环。
　　若对于每一个i，ai,j<=0
　　最优值无界。
　　若不能寻找到初始基解
　　无解。
　　若A不是行满秩
　　化简直到A行满秩，转到若A行满秩。

追问

能结合我这道题给出解题步骤么。。。上面的我不太理解。

追答

很复杂的，没办法在这里写清楚，其实你按照我写的步骤做，应该是可以做出来的

Answer 2

对于一般线性规划问题： 图解法解线性规划问题Min z=CX
　　S.T.
　　AX =b
　　X>=0
　　其中A为一个m*n矩阵。
　　若A行满秩
　　则可以找到基矩阵B，并寻找初始基解。
　　用N表示对应于B的非基矩阵。则规划问题1可化为：
　　规划问题2：
　　Min z=CB XB+CNXN
　　S.T. 线性规划法解题B XB+N XN = b (1)
　　XB >= 0, XN >= 0 (2)
　　(1)两边同乘于B-1，得
　　XB + B-1 N XN = B-1 b
　　同时，由上式得XB = B-1 b - B-1 N XN，也代入目标函数，问题可以继续化为：
　　规划问题3：
　　Min z=CB B-1 b + ( CN - CB B-1 N ) XN
　　S.T.
　　XB+B-1N XN = B-1 b (1)
　　XB >= 0, XN >= 0 (2)
　　令N:=B-1N，b:= B-1 b，ζ= CB B-1b，σ= CN - CB B-1 N，则上述问题化为规划问题形式4：
　　Min z= ζ + σ XN
　　S.T.
　　XB+ N XN = b (1)
　　XB >= 0, XN >= 0 (2)
　　在上述变换中，若能找到规划问题形式4，使得b>=0，称该形式为初始基解形式。
　　上述的变换相当于对整个扩展矩阵（包含C及A） 乘以增广矩阵 。所以重在选择B，从而找出对应的CB。
　　若存在初始基解
　　若σ>= 0
　　则z >=ζ。同时，令XN = 0，XB = b，这是一个可行解，且此时z=ζ，即达到最优值。所以，此时可以得到最优解。
　　若σ >= 0不成立
　　可以采用单纯形表变换。
　　σ中存在分量<0。这些负分量对应的决策变量编号中，最小的为j。N中与j对应的列向量为Pj。
　　若Pj <=0不成立
　　则Pj至少存在一个分量ai，j为正。在规划问题4的约束条件（1）的两边乘以矩阵T。
　　T=
　　则变换后，决策变量xj成为基变量，替换掉原来的那个基变量。为使得T b >= 0，且T Pj=ei（其中，ei表示第i个单位向量），需要：
　　l ai，j>0。
　　l βq+βi*(-aq,j/ai,j)>=0，其中q!=i。即βq>=βi/ ai,j * aq,j。
　　n 若aq,j<=0，上式一定成立。
　　n 若aq,j>0，则需要βq / aq,j >=βi/ ai,j。因此，要选择i使得βi/ ai,j最小。
　　如果这种方法确定了多个下标，选择下标最小的一个。
　　转换后得到规划问题4的形式，继续对σ进行判断。由于基解是有限个，因此，一定可以在有限步跳出该循环。
　　若对于每一个i，ai,j<=0
　　最优值无界。
　　若不能寻找到初始基解
　　无解。
　　若A不是行满秩
　　化简直到A行满秩，转到若A行满秩。
现在你知道了吧，你不懂再来找我

追问

不懂！！！

Answer 3

由设有A,B,C,D四个未知数，有以下等式：
3.5A + 4.4B + 5.0C+ 5.5D = 4.62
得到A=0.2，B=0.3，C=0.3，D=0.2，先看尾数，确定B=0.3，然后按照大于和小于4.62的比例以及A和D项的尾数，确定A=D=0.2。剩下C=0.3
解到这里已经解出ABCD，按照后面的条件其实和前面是矛盾的，因为后面那个式子A的权重越大，1.6A + 1.2B + 0.9C + 0.8D 自然越大。所以你看一下你提炼的条件对不对

追问

是矛盾的，可以这样理解，前面3.5A + 4.4B + 5.0C+ 5.5D = 4.62可以理解为办会员卡，级别越高你的优惠越多，相反后面的式子1.6A + 1.2B + 0.9C + 0.8D 你会员的卡的级别越高，你优惠多了我赚的就少了。所以就是满足客户要有那么多优惠的情况下，我能够赚得最多权重如何分配。

Answer 4

这就是线性规划问题，可以先建立模型，再利用EXCEL 的SOLVER(规划求解)得出最优解
约束条件：
3.50 * A + 4.40 * B + 5.00 * C + 5.50 * D = 4.62
A + B + C + D= 1
A , B , C ,D >= 0 ；
目标函数：
MaxZ = 1.6*A + 1.2*B + 0.9*C + 0.8*D

在SOLVER内设置目标值为“最大值”，添加约束条件，设置A,B,C,D所在的单元格为可变，设置迭代次数1000次，允许误差0.005%，勾选采用线性模型及约定非负权重，其余选项默认。
最后通过得出A= 0.438635, B = 0, C = 0 ,D = 0.561365
MaxZ =1.1641

追问

我就是用excel算出来答案了。。。老大叫我给我过程。。。我就郁闷了。。

Answer 5

3.5A + 4.4B + 5.0C+ 5.5D = 4.62

A+B+C+D=1
由这两个式子可以求出C用A　B　表示，D用A　B表示
代入1.6A + 1.2B + 0.9C + 0.8D 可得一个只有A　B　的表达式．
要求最大值你还少条件，比如A　B　C　D均大天等于0

追问

对，均大于等于0

追答

用C　,D　表示　A,　B　
0<=C<=4.62/5.0<1 0<=D<=4.62/5.5 <1
还是用行列式求吧

追问

想了半天还是很晕啊。我最后还要求出，A,B,C,D分别是多少。。。求继续解说。。

追答

D=0 我想只三个未知数了,就好求了.
下面我给出这个地址你去看吧,在这里解太复杂了.http://course.cug.edu.cn/cugFirst/operational_research/main/charpter1/p1.htm