Question

已知函数f(x)=lnx-ax+[(1-a)/x]-1(a属于R)已知f(x)在(0.1)上是单调递减函数，求a的取值范围。

Answer 1

函数f(x)=Inx-ax+(1-a)/x-1，对其求导
f'(x)=1/x-a-(1-a)/x^2=(x-ax^2+a-1)/x^2=[(x-1)(-ax-a+1)]/x^2
因为f(x)在(0.1)上是单调递减函数，故
f'(x)=[(x-1)(-ax-a+1)]/x^2在（0,1）恒小于等于0
又因为在（0,1）上，x^2恒大于0，（x-1）恒小于0
所以在（0,1）上， -ax-a+1>=0
a(-x-1)>=-1 ,因为 -x-1<0
所以a<=-1/(-x-1)=1/(x+1), x在区间 （0,1）内
故 a<=1/2