Question

什么是hermitian矩阵？？多谢各位大侠了

Answer 1

hermitian矩阵：厄米特矩阵（Hermitian Matrix，又译作“埃尔米特矩阵”或“厄米矩阵”），指的是自共轭矩阵。矩阵中每一个第i行第j列的元素都与第j行第i列的元素的共轭相等。

n阶复方阵A的对称单元互为共轭，即A的共轭转置矩阵等于它本身，则A是厄米特矩阵(Hermitian Matrix)。

Hermite(矩阵的性质)：

1、对角线元素是实数

2、Hermite矩阵是实对称矩阵的推广

推论：

（1）n阶厄米特矩阵A为正定（半正定）矩阵的充要条件是A的所有特征值大于（大于等于）0。

（2）若A是n阶厄米特矩阵，其特征值对角阵为V，则存在一个酉矩阵U，使AU=UV。

（3）若A是n阶厄米特矩阵，其弗罗伯尼范数的平方等于其所有特征值的平方和。

（4）主对角线元素皆为实数的埃尔米特矩阵的特征值均为实数, 斜埃尔米特矩阵的特征值为零或纯虚数。

扩展资料

矩阵 A=[aij]∈MnA=[aij]∈Mn 称为 Hermite 的，如果 A=A∗A=A∗；它是斜 Hermite 的，如果 A=−A∗A=−A∗.

对于 A,B∈MnA,B∈Mn，可得出很多简单明了的结论：

(1) A+A∗A+A∗, AA∗AA∗ 以及 A∗AA∗A 都是 Hermite 的

(2) 如果 AA 是 Hermite 的，那么对所有 k=1,2,3,⋯k=1,2,3,⋯, AkAk 都是 Hermite 的. 如果 AA 还是非奇异的，那么 A−1A−1是 Hermite 的

(3) A−A∗A−A∗ 是斜 Hermite 的

(4) 如果 AA 是 Hermite 的，那么 iAiA 是斜 Hermite 的；如果 AA 是斜 Hermite 的，那么 iAiA 是 Hermite 的

(5) 如果 A=C+iDA=C+iD, 其中 C,D∈Mn(R)C,D∈Mn(R)（AA 的实部与虚部），那么 AA 是 Hermite 的，当且仅当 CC 是对称的，且 DD 是斜对称的

(6) 实对称矩阵是复的 Hermite 矩阵

参考资料来源：百度百科—厄米特矩阵

Answer 2

首先说下实对称矩阵：
A=A转置
例如
1 2 3
2 4 5
3 5 6
转置之后是其本身，叫实对称矩阵。
hermitian矩阵是实对称矩阵的推广，共轭转置等于本身的矩阵
A=A共轭转置
例如
1 2i 3+i
-2i 5 6
3-i 6 4