Question

求曲线x^2+y^2+z^2=6,x+y+z=0在点(1,-2,1)处的切线及平面方程

该怎么做呢？网上我看到有人的答案是

切线方程为(x-1)/p+(y+2)/q+(z-1)/r=0 即(x-1)/（-6）+ (z-1)/6 =0 且y=-2
法平面方程(x-1)p+(y+2)q+(z-1)r=0 即(x-1)（-6）+ (z-1)6 = 0

但是书上的是：
切线方程为(x-1)/1=(y+2)/0=(z-1)/-1
法平面方程为(x-1)+0*(y+2)-(z-1)=0

哪个才是对的？求详解

Answer 1

首先对两个方程两边求导

2x+2y*dy/dx+2z*dz/dx

=0,1+dy/dx+dz/dx=0

代入x=1,y=-2,z=1得

dy/dx=0,dz/dx=-1

所以切线的方向向量是(1,dy/dx,dz/dx)=(1,0,-1)

所以切线的方程是x-1=(y+2)/0=1-z

平面的方程是(x-1)+0-(z-1)=0,即x-z=0

点法式

n为平面的法向量，n=(A,B,C),M,M'为平面上任意两点，则有n·MM'=0, MM'=(x-x0,y-y0,z-z0)，从而得平面的点法式方程：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0

三点求平面可以取向量积为法线，任一三元一次方程的图形总是一个平面，其中x,y,z的系数就是该平面的一个法向量的坐标。

两平面互相垂直相当于A1A2+B1B2+C1C2=0。

两平面平行或重合相当于A1/A2=B1/B2=C1/C2。

点到平面的距离=abs(Ax0+By0+Cz0+D)/sqrt(A^2+B^2+C^2) 求解过程:面内外两点连线在法向量上的映射Prj(小n)(带箭头P1P0)=数量积。

Answer 2

首先对两个方程两边求导,2x+2y*dy/dx+2z*dz/dx=0,1+dy/dx+dz/dx=0,代入x=1,y=-2,z=1得

dy/dx=0,dz/dx=-1.所以切线的方向向量是(1,dy/dx,dz/dx)=(1,0,-1)。所以切线的方程是x-1=

(y+2)/0=1-z。平面的方程是(x-1)+0-(z-1)=0,即x-z=0。

扩展资料：曲线，是微分几何学研究的主要对象之一。直观上，曲线可看成空间质点运动的轨迹。

微分几何就是利用微积分来研究几何的学科。为了能够应用微积分的知识，我们不能考虑一切曲

线，甚至不能考虑连续曲线，因为连续不一定可微。这就要我们考虑可微曲线。但是可微曲线也是

不太好的，因为可能存在某些曲线，在某点切线的方向不是确定的，这就使得我们无法从切线开始

入手，这就需要我们来研究导数处处不为零的这一类曲线，我们称它们为正则曲线。正则曲线才是

经典曲线论的主要研究对象。

Answer 3

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 4

书上是对的！
对两式关于X求导得：2x+2ydy/dx+2zdz/dx=0,1+dy/dx+dz/dx=0,解出dy/dx,dz/dz,将1,-2,1代入得dy/dz=0,dz/dz=-1,即得切线：(x-1)/1=(y+2)/0=(z-1)/-1

Answer 5

这两个明显都是对的。那个0就是应该单独拿出来表示，然后分母约分下都是一样的。