Question

已知数列an=2n-1,n为奇数，an=n+1,n为偶数，求该数列前n项和 Sn

Answer 1

解：
n为奇数时，共有(n+1)/2个奇数项，(n-1)/2个偶数项。
Sn=2[1+2+...+(n+1)/2]-(n+1)/2+2[1+2+...+(n-1)/2]+(n-1)/2
=2[(n+1)/2][(n+1)/2 +1]/2-(n+1)/2+2[(n-1)/2][(n-1)/2 +1]/2 +(n-1)/2
=(n+1)²/4+(n+1)/2-(n+1)/2+(n-1)²/4+(n-1)/2+(n-1)/2
=(n+1)²/4+(n-1)²/4+n-1
=(n²+2n-1)/2
n为偶数时，共有n/2个奇数项，n/2个偶数项。
Sn=2(1+2+...+n/2)-(n/2)+2[1+2+...+n/2]+n/2
=4(1+2+...+n/2)
=4(n/2)(n/2 +1)/2
=n(n+2)/2
综上，得n为奇数时，Sn=(n²+2n-1)/2；n为偶数时Sn=n(n+2)/2。

Answer 2

解：设奇数项和为Fn 偶数项和为Gn 则Sn=Fn+Gn
当n为偶数时 奇数项与偶数项各 n/2 项 最后一项为n+1 (偶尾项） 前一项为 2n-3 （奇尾项）
此时奇数项构成首项为 1 末项为 2n-3 公差为 4 的等差数列 则Fn=[(1+2n-3)n/2]/2
此时偶数项构成首项为 3 末项为 n+1 公差为 2 的等差数列 则Gn=[(3+n+1)n/2]/2
当n为奇数时 奇数项为 (n+1)/2 项 偶数项为 (n-1)/2 项
最后一项为 2n-1 (奇数尾项） 前一项为 n （偶数尾项）
此时奇数项构成首项为 1 末项为 2n-1 公差为 4 的等差数列 则Fn=[(1+2n-1)(n+1)/2]/2
此时偶数项构成首项为 3 末项为 n 公差为 2 的等差数列 则Gn=[(3+n)(n-1)/2]/2
综上可解最后结果