Question

已知函数f(x)=-x^2+2lnx g(x)=x+1/x

对于任意x1,x2属于[1/e,3]不等式f(x1)-g(x2)/k-1<=1恒成立，求实数k的取值范围

Answer 1

f'(x)=-2x + 2/x 当f'(x)=0 时 x=1 或者 x=-1(舍去）则
f(1/e)=-1/e^2-2 f(1)=-1 f(3)=-9+2ln9 很明显在[1/e,3]上， x=1 时 f(x)最大，最大值是 -1

g'(x)=1-1/x^2 当g'(x)=0时，x=1或者 x=-1 则
g(1/e)=e+1/e g'(1)=2 g'(3)=10/3 很明显在[1/e,3]上，最大值是10/3，最小值是2

当 k-1<0 则 g(x2)/k-1 <0 g(x)取最大值 -1-g(x2)/k-1《1 解得 k《-2/3
当 k-1>0 则 g(x2)/k-1 >0 g(x)取最小值 -1-g(x2)/k-1《 1 解得 k>1
综上，k《-2/3 或者 解得 k>1

如果g(x)=x+1/x 中x+1 是有括号的 方法也一样 求导 然后讨论

Answer 2

f(x1)-g(x2)/k-1<=1 中k-1是g(x2)的分母吗？