Question

一道证明题，需要你的帮助，谢谢！

设函数f（x）在[a，b]上连续且单调增加，求证：∫（a到b）x f（x）dx≥（a+b）／2∫（a到b）f（x）dx 。

Answer 1

假设LZ已经学过二重积分（应该刚刚学过吧？），证明过程见图片，望采纳：

或者这里还有第二种方法：

对任意u∈[a,b]，因为f(x)在[a,b]上单增，所以

∫（a到u）f（x）dx  ≤ ∫（a到u）f（u）dx = (u-a)f(u)  .......................①

令  F(u) = ∫（a到u）x f（x）dx -（a+u）／2∫（a到u）f（x）dx 

则 F'(u) = uf(u) - 1/2∫（a到u）f（x）dx - （a+u） f(u)／2

　　　　= 1/2{ (u-a)f(u) -  ∫（a到u）f（x）dx} 

　　　　≥ 0 .................（因为①）

因此F(u)在[a,b]上单增，所以F(b)≥F(a) =0,从而不等式得证。

Answer 2

郭敦颙回答：
在“（a+b）／2∫（a到b）f（x）dx”中
是[（a+b）／2]∫（a到b）f（x）dx，还是（a+b）／[2∫（a到b）f（x）dx]
请说明后，再作答。
（我要睡眠了）

追问

是[（a+b）／2]∫（a到b）f（x）dx

追答

郭敦颙回答：
夜里想来最大可能，就是如此。
证明：
∵ ∫（a到b）x f（x）dx= f（x）x∣ab=（b-a）f（x）；
[（a+b）／2]∫（a到b）f（x）dx=f（x）[（a+b）／2] ∣ab
=[（a+b）（b-a）/2] f（x）。
又，函数f（x）在[a，b]上连续且单调增加，
显然， b-a>0
∴ 比较∫（a到b）x f（x）dx与（a+b）／2∫（a到b）f（x）dx 的大小，等价于比较（b-a）与[（a+b）（b-a）/2]的大小。
这有三种情况（你题中给出的只两种情况），而且（a+b）可以是负值，你自己比较去吧。
此复，满意否？