已知函数fx的图象与函数hx=x+1/x+2的图象关于点A(0,1)对称.
⑴求fx的解析式;⑵若gx=fx+a/x,且gx在区间(0,2]上为减函数,求实数a的取值范围....
⑴求fx的解析式;⑵若gx=fx+a/x,且gx在区间(0,2]上为减函数,求实数a的取值范围.
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h(x)=x+1/x+2
设h(x)上的任意一点(x,h(x))在f(x)上的对称点为(x₁,f(x₁))
则：(x+x₁)/2=0 (h(x)+f(x₁))/2=1
∴x=-x₁ h(x)=2-f(x₁) 代入h(x)
2-f(x₁)=-x₁+1/-x₁+2
f(x₁)=x₁+1/x₁
∴fx的解析式:f(x)=x+1/x
(2)g(x)=f(x)+a/x=x+1/x+a/x
g'(x)=1-(1+a)/x²
a≤-1 g'(x)>0 全定义域单调递增，与题意不符
a>-1时，x>0的驻点x=√(1+a)
g''(x)=2/(1+a)/x³>0 x=√(1+a)为极小值点
x∈(0,2]上为减函数，则区间位于极小值点的左侧
∴2<√(1+a)→a>3
设h(x)上的任意一点(x,h(x))在f(x)上的对称点为(x₁,f(x₁))
则：(x+x₁)/2=0 (h(x)+f(x₁))/2=1
∴x=-x₁ h(x)=2-f(x₁) 代入h(x)
2-f(x₁)=-x₁+1/-x₁+2
f(x₁)=x₁+1/x₁
∴fx的解析式:f(x)=x+1/x
(2)g(x)=f(x)+a/x=x+1/x+a/x
g'(x)=1-(1+a)/x²
a≤-1 g'(x)>0 全定义域单调递增，与题意不符
a>-1时，x>0的驻点x=√(1+a)
g''(x)=2/(1+a)/x³>0 x=√(1+a)为极小值点
x∈(0,2]上为减函数，则区间位于极小值点的左侧
∴2<√(1+a)→a>3
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