如图所示,自二面角α-l-β外一点P,向二面角α-l-β的两个半平面α、β引垂线PA、PB,求证:

求证角APB与二面角的大小互补。... 求证角APB与二面角的大小互补。 展开
飘渺的绿梦
2012-03-15 · TA获得超过3.5万个赞
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过A作AC⊥ l 交 l 于C、过B作BD⊥ l 交 l 于D。
∵PA⊥平面α,∴AC是PC在平面α上的射影,又AC⊥ l ,∴由三垂线定理,有:PC⊥ l 。
∵PB⊥平面β,∴BD是PD在平面β上的射影,又BD⊥ l ,∴由三垂线定理,有:PD⊥ l 。
∵过直线外一点只能作出一条直线与已知直线垂直,而PC⊥ l 、PD⊥ l ,∴PC、PD重合,
又C、D都在直线 l 上,∴C、D重合,∴∠ACB为二面角α-l-β的平面角。

∵l ⊥PC、l ⊥AC、PC∩AC=C,∴l ⊥平面PAC。
∵l ⊥PC、l ⊥BC、PC∩BC=C,∴l ⊥平面PBC。
∵过直线上一点只能作出一个平面与已知直线垂直,而过 l 上点C的平面PAC、PBC都与 l 垂直,
∴平面PAC、平面PBC重合,∴P、A、C、B共面,又PA⊥AC、PB⊥BC,∴P、A、C、B共圆,
∴∠ACB+∠APB=180°。
∴∠APB与二面角α-l-β的大小互补。
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