Question

判断级数的敛散性！！！！

级数n^n/(e^n*n!)（n=1到无穷）的敛散性，急求~~~~~~~

Answer 1

斯特林公式：n!等价于(n/e)^n*根号(2npi)
因此级数通项等价于1/根号(2npi)，发散。

追问

没学过额，能不能比较原始的方法。。这个太高端

追答

an/a(n+1)=e/(1+1/n)^n，n(an/a(n+1)--1)=n*(e--(1+1/n)^n)/(1+1/n)^n
等价于n*(1--(1+1/n)^n/e)，故需要考虑(1+1/n)^n/e=e^(nln(1+1/n))/e
=e^(nln(1+1/n)--1)用Taylor展式=e^(n*(1/n--1/(2n^2))--1+小o(1/n))
=e^(--1/(2n)+小o(1/n)
=1--1/(2n)+小(1/n)，代入上面可知
n*(an/a(n+1)--1)等价于1/2<1，Raabe判别法知道发散。