Question

设a为实数，f（x）=x^3-ax^2+（a^2-1）x 在（-∞，0）上是增函数，求a的范围？？

Answer 1

解：f‘(x)=3x^2-2ax+a^2-1
由题意得：f'(x)>=0在（-∞，0）上恒成立
即f'(x)在（-∞，0）上的最小值≥0
对f'(x)的对称轴进行讨论：
若a/3>=0，即a>=0
f’min=f‘(0)=a^2-1>=0
则a>=1
若a/3<0,即a<0
f'min=f'(a/3)=a^2/3-2a^2/3+a^2-1>=0
2a^2/3>=1
则a<=-√6/2
综上a的范围为：（负无穷，-√6/2]∪[1，正无穷）

Answer 2

f(x)在（-∞，0）上是增函数,说明df(x)/dx或者说f’(x)在（-∞，0）区间大于等于0，
f'(x)=3x^2-2ax+a^2-1=2x^2+(x^2-2ax+a^2)-1=2x^2-1+(x-a)^2，其中在（-∞，0）区间x<0, 所以2x^2-1大于-1，(x-a)^2大于等于0，因为题目需要f'(x)大于等于0所以说(x-a)^2必须大于等于1，由此可求出a的区间在a<-1或a>1