Question

大一高数微分方程求解

Answer 1

3、y'-y=0的解为e^x，因此通解是Ce^x。再考虑y'--y=cosx的特解。
y=asinx+bcosx，y'=acosx--bsinx，y'--y=(a+b)sinx+(a--b)cosx=cosx，得
a+b=0，a--b=1，于是a=1/2，b=--1/2，故
微分方程的通解是y=Ce^x+0.5(sinx--cosx)，再令x=0，y=0代入知道C=0.5，因此
解为y=0.5（e^x+sinx--cosx)。
4、y'+(1--2x)/x^2*y=1，即【(e^(--1/x--2lnx)*y】'=e^(--1/x--2lnx)(y'+(1--2x)/x^2*y)=e^(--1/x--2lnx)=e^(--1/x)/x^2=(e^(--1/x))'，于是
通解为(e^(--1/x--2lnx)*y=C+e^(--1/x)，即y=Ce^(1/x+2lnx)+e^(2lnx)=Ce^(1/x+2lnx)+x^2。
令x=1时，y=0代入得C=--1/e。故解为y=--e^(1/x+2lnx--1)+x^2。

Answer 2

这两个微分方程都是“一阶线性微分方程”
方法是用“常数变易法”解的
也有现成的解的公式可以套用：
按照一阶线性微分方程的标准形式y´+p(x)y=q(x)
通解的公式是y=e^[-∫p(x)dx]*{∫q(x) e^[∫p(x)dx]dx+C}