Question

lim（x→0）{[sinx-sin（sinx）]sinx}/x^4

Answer 1

lim（x→0）{[sinx-sin（sinx）]sinx}/x^4

=lim（x→0）[sinx-sin（sinx）]*x/x^4

=lim（x→0）[sinx-sin（sinx）]/x^3

=lim（x→0）2cos[(x+sinx)/2]sin[(x-sinx)/2]/x^3

=lim（x→0）sin[(x-sinx)/2]/x^3

=lim（x→0）(x-sinx)/(2x^3) (0/0)

=lim（x→0）(1-cosx)/(6x^2)

=lim（x→0）(x^2/2)/(6x^2)

=1/12

正弦函数

一般的，在直角坐标系中，给定单位圆，对任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点P（u，v），那么点P的纵坐标v叫做角α的正弦函数，记作v=sinα。

通常，我们用x表示自变量，即x表示角的大小，用y表示函数值，这样我们就定义了任意角的三角函数y=sin x，它的定义域为全体实数，值域为[-1,1]。

Answer 2

lim（x→0）{[sinx-sin（sinx）]sinx}/x^4
=lim（x→0）{[sinx-sin（sinx）]x}/x^4
=lim（x→0）[sinx-sin（sinx）]/x³
=lim（x→0）{[cosx-cos（sinx）cosx]/3x²
=lim（x→0）{[-sinx+sin（sinx）cos²x+sinxcos(sinx)]/6x
=lim（x→0）[-sinx/6x+sin（sinx）cos²x/6x+sinxcos(sinx)/6x]
=-1/6+lim（x→0）sinx cos²x/6x+1/6
=1/6

Answer 3

思路：充分利用等价无穷小特性
第一步化简：sinx--->x; x-->0时；sinx-sin(sinx)/x^3
第二部化简：洛必达法则；cosx(1-cos(sinx))/3x^2
第三部化简：1-cos(sinx)-->(sinx)^2/2-->x^2/2；cosx/6
结果：1/6

Answer 4

（1）先用等价无穷小替换：sinx-x
（2）利用洛必达化解,遇到cosx直接计算为1
（3）最后答案为1/6

Answer 5

lim（x→0）{[sinx-sin（sinx）]sinx}/x^4
=lim（x→0）[sinx-sin（sinx）]*x/x^4
=lim（x→0）[sinx-sin（sinx）]/x^3
=lim（x→0）2cos[(x+sinx)/2]sin[(x-sinx)/2]/x^3
=lim（x→0）sin[(x-sinx)/2]/x^3
=lim（x→0）(x-sinx)/(2x^3) (0/0)
=lim（x→0）(1-cosx)/(6x^2)
=lim（x→0）(x^2/2)/(6x^2)
=1/12