Question

已知函数f(x)=4x³+3tx²-6t²x+t-1（x∈R），其中t∈R。证明：对任意t∈（0，+无穷）

f（x）在区间（0,1）内存在零点
要求用导数知识解答

Answer 1

证明：f'(x)=12x²+6tx-6t²=6(x+t)(2x-t)，
∵ t >0，∴由f'(x)=0得x=t/2>0。
而f(0) = t-1，f(1) = -6t²+4t+3。
(1)若t/2≥1，即t≥2，则可知f(x)在(0，1)内单调递减，且f(0) = t-1>0，f(1) = -6t²+4t+3<0。
∴此时f(x)在(0，1)内存在零点。即当t≥2时命题成立。
(2) 若0<t/2<1，即0<t<2，则可知f(x)在(0，t/2)内单调递减，在(t/2，1)内单调递增，
∴f(x)在(0，1)内当x=t/2时取最小值f(t/2)=-7t³/4+t-1。
①当1<t<2时，f(0) = t-1>0，f(t/2)=-7t³/4+t-1=-3t³/4-t(t²-1)-1<0。
∴此时f(x)在(0，1)内存在零点。
②当t=1时，f(t/2)=-7/4<0，f(1) =1>0，∴此时f(x)在(0，1)内存在零点。
③当0<t<1时，f(0) = t-1<0，f(1) = -6t²+4t+3=2(1-t)(1+3t)+1>0，
∴此时f(x)在(0，1)内存在零点。
由①②③知，当1<t<2时，命题也成立。
综合(1)和(2) 知，对任意t∈(0，+∞)，f(x)在区间(0，1)内存在零点。
(这题做得真要人命呀，哈哈~~~~~~~~)

Answer 2

首先，
f(0) = t-1
f(1) = -6t²+4t+3
然后，
f(0)*f(1) = -(t-1)(6t²-4t-3)<0, 对任意t∈(0，+无穷)
所以，f(x)在区间(0,1)内存在零点.

Answer 3

首先求导。f'
f'(x)=12x+6tx-6t^2+1=(12+6t）x-6t^2+1,当t>0时,12+6t>0,所以f'(x)是增函数。所以最小值=F'(0)=-6t^2+1,最大值=f'(1)=6t-6t^2+13.令f'(0)=0,f'(1)=0,然后讨论T的值。

追问

求导求错了

追答

我失败了。。。