Question

已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c，在x=1和x=-2/3处产生极值.

⑴求出f(x)的极值；⑵若对x∈[-1,2]，f(x)<1/c恒成立，求c的范围.

Answer 1

1、f'(x)=3x^2+2ax+b有两个根1和－2/3，代入得3+2a+b＝0，4/3－4a/3+b=0，解得a＝－1/2，b＝－2。故f(x)=x^3－x^2/2－2x+c，极小值f(1)=c－3/2，极大值f(－2/3)=22/27+c。
2、f(2)=2+c，f(x)在【－1，－2/3】上递增，在【－2/3，1】上递减，在【1，2】上递增，因此条件成立等价于f(x)在【－1，2】上的最大值<1/c，即2+c<1/c。解得
c<－1－根号(2)或0<c<根号(2)－1。