高三数学考试,求数学大神解答,打出来不容易啊…你懂。

已知圆C经过点(-2,3),圆心C在直线y=-1/2x上,圆心的坐标为整数,被直线x+y+3=0截得的弦长为2倍的根号2问题1,求圆C的方程。问题2,若过圆内点M(-1,... 已知圆C经过点(-2,3),圆心C在直线y=-1/2x上,圆心的坐标为整数,被直线x+y+3=0截得的弦长为2倍的根号2 问题1,求圆C的方程。 问题2,若过圆内点M(-1,根号2+1)的两条弦AE,BD互相垂直,求AE+BD的最大值 打出来不容易啊,求解答… 展开
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飘渺的绿梦
2012-03-15 · TA获得超过3.5万个赞
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第一个问题:
∵⊙C的圆心在直线y=-x/2上,∴可设圆心坐标为(m,-m/2)。
∵⊙C过点(-2,3),∴⊙C的半径=√[(m+2)^2+(-m/2-3)^2]。
∴⊙C的方程可写成:(x-m)^2+(y+m/2)^2=(m+2)^2+(-m/2-3)^2。

联立:x+y+3=0、(x-m)^2+(y+m/2)^2=(m+2)^2+(-m/2-3)^2,消去y,
得:(x-m)^2+(-x-3+m/2)^2=(m+2)^2+(-m/2-3)^2,
∴x^2-2mx+m^2+x^2+9+m^2/4+6x-mx-3m=m^2+4m+4+m^2/4+3m+9,
∴2x^2+(6-3m)x-10m-4=0。

令直线x+y+3=0截⊙C所得的弦为FG。
∵F、G都在直线x+y+3=0上,即在y=-x-3上,
∴可分别设F、G的坐标为(p,-p-3)、(q,-q-3)。
显然,p、q是方程2x^2+(6-3m)x-10m-4=0的两根,∴由韦达定理,有:
p+q=(3m-6)/2、 pq=-5m-2。

依题意,有:|FG|=2√2,∴√[(p-q)^2+(-p-3+q+3)^2]=2√2,
∴√[(p+q)^2-4pq]=2,∴(p+q)^2-4pq=4,
∴(3m-6)^2/4-4(-5m-2)=4,∴(3m-6)^2+16(5m+2)=16,
∴9m^2-36m+36+80m+32=16,∴9m^2+44m+52=0,
∴(9m+26)(m+2)=0。
∵m是整数,∴m=-2,∴m/2=1,
∴(m+2)^2+(-m/2-3)^2=(-1-3)^2=16。
∴满足条件的⊙C的方程是(x+2)^2+(y+1)^2=16。

第二个问题:
要使AE+BD有最大值,就需要AE、BD中有一者是直径。 下面证明这一事实:
不失一般性,设AE为直径。
∵在同一圆中,弦心距小,弦就大,
∴要使AE+BD最大,就需要点C到AE、BD的距离之和最小。
∵AE⊥BD,AE是直径,又M是BD的中点,∴AM⊥BD。
∴当AE为直径时,点C到AE、BD的距离之和=|CM|。

过M任作两条非直径的垂直弦JK、PQ。再过C作CH⊥JK交JK于H、作CR⊥PQ交PQ于R。
∵CH⊥MH、CR⊥MR、MH⊥MR,∴CHMR是矩形,∴|CR|=|MH|。
在△CHM中,显然有:|CH|+|MH|>|CM|,∴|CH|+|CR|>|CM|。
∴只有当AE、BD有一者为直径时,两弦心距之和才是最小的。
即:当AE+BD取得最大值时,AE、BD有一者是直径。

不失一般性,设AE为直径,则:
|CM|^2=(-2+1)^2+(-1-√2-1)^2=1+4+4√2+2=7+4√2。
显然有:|CB|=4。
由勾股定理,有:|BM|^2=|CB|^2-|CM|^2=16-7-4√2=9-4√2=(2√2-1)^2。
∴|BM|=2√2-1,∴|BD|=2|BM|=4√2-2。
∴AE+BD=8+4√2-2=6+4√2。
即:AE+BD的最大值是:6+4√2。
功夫李敦
2012-03-21
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第一个问题:
∵⊙C的圆心在直线y=-x/2上,∴可设圆心坐标为(m,-m/2)。
∵⊙C过点(-2,3),∴⊙C的半径=√[(m+2)^2+(-m/2-3)^2]。
∴⊙C的方程可写成:(x-m)^2+(y+m/2)^2=(m+2)^2+(-m/2-3)^2。

联立:x+y+3=0、(x-m)^2+(y+m/2)^2=(m+2)^2+(-m/2-3)^2,消去y,
得:(x-m)^2+(-x-3+m/2)^2=(m+2)^2+(-m/2-3)^2,
∴x^2-2mx+m^2+x^2+9+m^2/4+6x-mx-3m=m^2+4m+4+m^2/4+3m+9,
∴2x^2+(6-3m)x-10m-4=0。

令直线x+y+3=0截⊙C所得的弦为FG。
∵F、G都在直线x+y+3=0上,即在y=-x-3上,
∴可分别设F、G的坐标为(p,-p-3)、(q,-q-3)。
显然,p、q是方程2x^2+(6-3m)x-10m-4=0的两根,∴由韦达定理,有:
p+q=(3m-6)/2、 pq=-5m-2。

依题意,有:|FG|=2√2,∴√[(p-q)^2+(-p-3+q+3)^2]=2√2,
∴√[(p+q)^2-4pq]=2,∴(p+q)^2-4pq=4,
∴(3m-6)^2/4-4(-5m-2)=4,∴(3m-6)^2+16(5m+2)=16,
∴9m^2-36m+36+80m+32=16,∴9m^2+44m+52=0,
∴(9m+26)(m+2)=0。
∵m是整数,∴m=-2,∴m/2=1,
∴(m+2)^2+(-m/2-3)^2=(-1-3)^2=16。
∴满足条件的⊙C的方程是(x+2)^2+(y+1)^2=16。

第二个问题:
要使AE+BD有最大值,就需要AE、BD中有一者是直径。 下面证明这一事实:
不失一般性,设AE为直径。
∵在同一圆中,弦心距小,弦就大,
∴要使AE+BD最大,就需要点C到AE、BD的距离之和最小。
∵AE⊥BD,AE是直径,又M是BD的中点,∴AM⊥BD。
∴当AE为直径时,点C到AE、BD的距离之和=|CM|。

过M任作两条非直径的垂直弦JK、PQ。再过C作CH⊥JK交JK于H、作CR⊥PQ交PQ于R。
∵CH⊥MH、CR⊥MR、MH⊥MR,∴CHMR是矩形,∴|CR|=|MH|。
在△CHM中,显然有:|CH|+|MH|>|CM|,∴|CH|+|CR|>|CM|。
∴只有当AE、BD有一者为直径时,两弦心距之和才是最小的。
即:当AE+BD取得最大值时,AE、BD有一者是直径。

不失一般性,设AE为直径,则:
|CM|^2=(-2+1)^2+(-1-√2-1)^2=1+4+4√2+2=7+4√2。
显然有:|CB|=4。
由勾股定理,有:|BM|^2=|CB|^2-|CM|^2=16-7-4√2=9-4√2=(2√2-1)^2。
∴|BM|=2√2-1,∴|BD|=2|BM|=4√2-2。
∴AE+BD=8+4√2-2=6+4√2。
即:AE+BD的最大值是:6+4√2。
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明天过后cnn
2012-03-20
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设圆心的坐标为(x,y),则圆的半径的平方等于(x+2)的平方加上(y-3)的平方。再有点到直线x+y-3=0的距离的平方等于(x+y+3)的平方除以2,又因为截得的弦长为2倍的根号2,所以圆的半径的平方又可以表示为根号2的平方加上(x+y+3)的平方除以2,两个式子相等就可以解得x=-2 y=1所以由圆心坐标和圆上一点就可以求出c的方程了。第二问的求解方法:先设弦AE所在的直线方程,从而得出BD的所在的直线方程,再各自求出所得弦的长度,相加后得到AE+BD的一个表达式,然后根据xy值的取值范围就可求解
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