Question

求幂级数的和函数 求大神给出这两道题的详细解答过程 谢谢

Answer 1

　　解：【用“[.]'”表示对x求导”】(1)题，设S(x)=∑(n+1)x^n。∴S(x)=∑(n+1)x^n=[∑x^(n+1)]'，
　　当丨x丨<1时，∑x^(n+1)=(x^2)/(1-x)，
　　∴S(x)=∑(n+1)x^n=[(x^2)/(1-x)]'=(2x-x^2)/(1-x)^2，其中，丨x丨<1。
　　(2)题，设S(x)=∑[1/(2n+1)]x^(2n+1)。∴S'(x)=∑x^(2n)，
　　当丨x^2丨<1，即丨x丨<1时，∑x^(2n)=1/(1-x^2)，∴S(x)=∫(0,x)dx/(1-x^2)=(1/2)ln[(1+x)/(1-x)]，其中，丨x丨<1。
　　供参考。

追问

这个是怎么来的？？
　　当丨x丨<1时，∑x^(n+1)=(x^2)/(1-x)，
　　

因该是这个是怎么来的？？
　　当丨x丨<1时，∑x^(n+1)=(x)/(1-x)
　　

追答

　　∵n=1、∑x^(n+1)是首项为x^2、公比为x的等比数列，∴∑x^(n+1)=(x^2)(1-x^n)/(1-x)）。
　　当丨x丨<1时，lim(n→∞)x^n=0，∑x^(n+1)收敛，继而lim(n→∞)∑x^(n+1)=(x^2)/(1-x)。

追问

谢谢