Question

在三角形ABC中，若a平方=b(b+c )求证:A=2B

Answer 1

【【注：用一个初中方法。】】
【1】
作“辅助线”
在⊿ABC中，延长CA到点D,使得AD=AB=c
连接BD.
【2】
易知，
∵AB=AD=c, （辅助线做法）
∴∠ABD=∠ADB=(1/2)∠BAC. (等边对等角，外角等于不相邻两个内角和）
【3】
在⊿CAB与⊿CBD中，
由题设a²=b(b+c)可得：
a/(b+c)=b/a
即：CB∶CD=CA∶CB. 又∠ACB=∠BCD.
∴⊿CAB∽⊿CBD （对应边成比例，夹角相等的两个三角形相似，）
∴∠CBA=∠D=(1/2)∠BAC
即：A=2B

Answer 2

证明：
因为a^2=b^2+c^2-2bccosa,
又由题意知，a^2=b^2+bc
所以c^2-2bccosa=bc
则c=b(1+2cosa)
所以由正弦定理c/sinc=b/sinb得
sinb+2cosasinb=sinc=sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa
则sinb=sinacosb-sinbcosa=sin(a-b)
又a,b,c都是三角形的内角，
所以b=a-b
即a=2b
证毕

Answer 3

用正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R求解
∵a^2=b(b+c)
∴sin^2A=sin^2B+sinB*sinC
∴(sinA+sinB)(sinA-sinB)=sinB*sin(A+B)
∴2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]*2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]
=sinB*sin(A+B)
∴sin)(A+B)*sin(A-B)=sinB*sin(A+B)
∴sin(A-B)=sinB
∴A-B=B
∴A=2B

Answer 4

在△ABC中，∵a²=b（b+c） ∴ABC为直角三角形 根据勾股定理 得：a²=b²＋c²
由a²=b（b+c）得：b=c ∴ABC为等腰直角三角形 ∴∠B=∠C=45° ∠A=90°
∴∠A=2∠B