Question

设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0. (1)求公差d的取值范围; (2)判断前几项的和最大...

设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0.
(1)求公差d的取值范围;
(2)判断前几项的和最大,并说明理由

Answer 1

（1）S12=12a1+12×(12-1)／2•d＞0，
S13=13a1+13×(13-1)／2•d＜0
2a1+11d＞0①
a1+6d＜0②
a3=12，得a1=12-2d③，
将③式分别代①、②式，
24+7d＞0
3+d＜0
∴-24／7＜d＜-3．
（2）由d＜0可知a1＞a2＞a3＞…＞a12＞a13．
因此陆卜羡，弊陪若在1≤n≤12中存在自然数n，
an＞0，an+1＜0，
Sn就是S1，S2，，S12中的最大值．
S12＞0 S13＜0
a1+5d＞-d／2＞0 a1+6d＜0
a6＞0 a7＜0
故在早拍S1，S2，…，S12中S6的值最大．

Answer 2

　　解：改戚（1）∵S12＞0，御镇S13＜0，a3=12＞0
∴a1＞0，d＜0
∴a1+a12＞0，a1+a13＜0
由等差数列的性质可得，
a6+a7＞0，2a7＜核拆陵0
故当n=6时，S6最大

Answer 3

a1+2d=12
S12=(2a1+11d)*12/2>0
2a1+4d+7d>0
d>-24/7

S13=(2a1+12d)*13/2<0
2a1+4d+8d<0
d<-3
-24/7<茄燃陵d<-8

Sn=[2a1+(n-1)d]*n/2
=[2a1+4d+(n-5)d]*n/2
=[24+(n-5)d]*n/2
就看分子段圆
=dn²+(24-5d)n
对称颤戚轴-(24-5d)/2d=5/2-12/d
-24/7<d<-8
-1/8<1/d<-7/24
3/2<-12/d<7/2
4<5/2-12/d<6
所以n=5时最大
所以前5项和最大