求无穷小和它的阶数时，常用到泰勒展开式，怎么确定展开到几项呢
如果是乘除法运算，只要展开到第一个非零项即可。如果是加减法，只要保证加减法消掉之后，剩下的最低阶项的系数是完整的。
举例说明：
判断tanx*sinx的阶数，其中x趋于0。
tanx=x+x³/3+o(x³)，sinx=x-x³/6+o(x³)。
那么tanx*sinx=[x+x³/3+o(x³)]*[x-x³/6+o(x³)]
=x²+x^4/6-x^6/18+o(x^6)=x^2+o(x^2)，因此tanx*sinx是关于x的二阶无穷小量。这是严谨的推导过程。
为了简便起见，只要把每一个因子展开到第一个非零项，也能得到同样的结果：
tanx～x，sinx～x，所以tanx*sinx～x*x=x²。
扩展资料：
泰勒公式的余项Rn（x）可以写成以下几种不同的形式：
1、佩亚诺（Peano）余项：
这里只需要n阶导数存在。
2、施勒米尔希-罗什（Schlomilch-Roche）余项：
其中θ∈（0,1），p为任意正整数。（注意到p=n+1与p=1分别对应拉格朗日余项与柯西余项） [3]
3、拉格朗日（Lagrange）余项：
其中θ∈（0,1）。
4、柯西（Cauchy）余项：
其中θ∈（0,1）。
5、积分余项：
其中以上诸多余项事实上很多是等价的。
参考资料来源：百度百科-泰勒公式
如果是乘除法运算，只要展开到第一个非零项即可。如果是加减法，只要保证加减法消掉之后，剩下的最低阶项的系数是完整的。
举例说明：
判断tanx*sinx的阶数，其中x趋于0。
我们知道，tanx=x+x³/3+o(x³)，sinx=x-x³/6+o(x³)。
那么tanx*sinx=[x+x³/3+o(x³)]*[x-x³/6+o(x³)]
=x²+x^4/6-x^6/18+o(x^6)=x^2+o(x^2)，因此tanx*sinx是关于x的二阶无穷小量。这是严谨的推导过程。
为了简便起见，只要把每一个因子展开到第一个非零项，也能得到同样的结果：
tanx～x，sinx～x，所以tanx*sinx～x*x=x²。
扩展资料：
泰勒公式是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f（x）利用关于（x-x0）的n次多项式来逼近函数的方法。
若函数f（x）在包含x0的某个闭区间[a，b]上具有n阶导数，且在开区间（a，b）上具有（n+1）阶导数，则对闭区间[a，b]上任意一点x。
泰勒展开式的重要性体现在以下五个方面：
1、幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。
2、一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行。
3、泰勒级数可以用来近似计算函数的值，并估计误差。
4、证明不等式。
5、求待定式的极限。
参考资料来源：百度百科--泰勒公式
可以看它分母为多少，如为n，则展开到第n+1项了
若函数f（x）在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间（a,b）上具有（n+1）阶导数，则对闭区间[a,b]上任意一点x，成立下式：
其中，表示f（x）的n阶导数，等号后的多项式称为函数f（x）在x0处的泰勒展开式，剩余的Rn（x）是泰勒公式的余项，是（x-x0）n的高阶无穷小。
扩展资料
泰勒公式，应用于数学、物理领域，是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。
泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例。拉格朗日在1797年之前，最先提出了带有余项的现在形式的泰勒定理。
来源
？？？能举例子吗
例1：乘法。判断tanx*sinx的阶数，其中x趋于0.
我们知道，tanx=x+x³/3+o(x³),sinx=x-x³/6+o(x³),
那么tanx*sinx=[x+x³/3+o(x³)]*[x-x³/6+o(x³)]
=x²+x^4/6-x^6/18+o(x^6)=x^2+o(x^2)，因此tanx*sinx是关于x的二阶无穷小量。这是严谨的推导过程。
为了简便起见，只要把每一个因子展开到第一个非零项，也能得到同样的结果：
tanx～x，sinx～x，所以tanx*sinx～x*x=x².
例2：减法。判断tanx-sinx的阶数。
(1)我们尝试展开到第一个非零项：tanx=x+o(x),sinx=x+o(x),
所以tanx-sinx=[x+o(x)]-[x+o(x)]=o(x)，这个是严谨的过程，通过这个推导我们只能知道tanx-sinx是关于x的高阶小量，但具体是多少阶，我们通过上面的推导无法得出结论。
如果在这时候我们采取等价无穷小代换，就会导致错误，因为把o(x)忽略掉以后，就会得到
tanx-sinx～0，相当于无穷阶的无穷小量，与实际情况不符合。
(2)所以我们接下来把tanx展开到第二个非零项，把sinx展开到第一个非零项，得到
tanx-sinx=[x+x³/3+o(x³)]-[x+o(x)]=x³/3+o(x)，如果我们再次把o(x)忽略，那么得到的结果就是
tanx-sinx～x³/3，这个结果真的对吗？不见得。这时候得到的最低阶项是x³项，但是因为sinx没有展开到这一项，所以我们不知道sinx的x³项系数是否为零，如果不为零，那么最后得到的x³/3就是不完整的。至于结果是否正确我们下面会讨论。其实在这一步，严格来讲，我们得不到tanx-sinx～x³/3的结论，因为x³/3=o(x)，所以只能得到tanx-sinx=o(x)的结果，因此实际上还是回到了(1)的情形。
(3)既然在(2)中我们看到tanx-sinx的结果中可能会留下x³项，那么我们这一次把两者都展开到x³项，看看能否确定结果的阶数。
因为tanx=x+x³/3+o(x³),sinx=x-x³/6+o(x³),
所以tanx-sinx=[x+x³/3+o(x³)]-[x-x³/6+o(x³)]=x³/6+o(x³)，这时因为相减的结果完整地保留了x³项的系数，且o(x³)是高阶小量，因此满足要求。
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