已知函数F(X)=-X^3+ax^2+b(a.b属于R)(1)求函数F(X)的单调递增区间;(2)若对任...

已知函数F(X)=-X^3+ax^2+b(a.b属于R)(1)求函数F(X)的单调递增区间;(2)若对任意a属于[3.4].函数f(x)在R上都有三个零点,求实数b的取值... 已知函数F(X)=-X^3+ax^2+b(a.b属于R)(1)求函数F(X)的单调递增区间;(2)若对任意a属于[3.4].函数f(x)在R上都有三个零点,求实数b的取值范围

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易冷松RX
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(1)f(x)=-x^3+ax^2+b,f'(x)=-3x^2+2ax=-3x(x-2a/3)
1)若a<0,则x<2a/3,时f'(x)<0,f(x)递减;2a/3<x<0,f'(x)>0,f(x)递增;x>0,f'(x)<0,f(x)递减。
f(x)的递增区是(2a/3,0)。
2)若a=0,则f'(x)=-3x^2<=0,则f(x)是减函数,没有单调递增区间。
3)若a>0,则x<0,时f'(x)<0,f(x)递减;0<x<2a/3,f'(x)>0,f(x)递增;x>2a/3,f'(x)<0,f(x)递减。
f(x)的递增区是(0,2a/3)。
(2)由(1)知,f(x)的极小值是f(0)=b,极大值是f(2a/3)=4a^3/27+b。
因为f(x)在R上有三个零点,所以,f(0)=b<0且f(2a/3)=4a^3/27+b>0,-4a^3/27<b<0。
3<=a<=4,则-256/3<=-4a^3/3<=-36。
所以,-36<b<0
追问
(-4,0)。?
追答
(2)由(1)知,f(x)的极小值是f(0)=b,极大值是f(2a/3)=4a^3/27+b。
因为f(x)在R上有三个零点,所以,f(0)=b0,-4a^3/27<b<0。
3<=a<=4,则-256/27<=-4a^3/27<=-4。
所以,-4<b<0
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