Question

证明方程x^5+x-1=0只有一个正根

Answer 1

证：设函数f(x)=x^5+x-1 假设方程f(x)=0存在两不等实根x1,x2,即f(x1)=f(x2)=0 则在开区间（x1,x2）上必然存在一点ξ，使得f”(ξ)=0 事实上，f”(x)=5x^4+1>0恒成立，与假设矛盾！ 所以方程f(x)=0至多存在一个实根。 由因为f(0)=-1，f(1)=1,f(x)在（0,1）内必存在一实根。 综上所述，方程x^5+x-1=0只有一正根

Answer 2

假设有一个负根A<0，则A^5<0
所以A^5+A-1必然小于0，与假设矛盾，所以不可能有负根。
假设有两个不相等的根A,B。
则A^5+A-1=0
且B^5+B-1=0
所以两式相减，A^5-B^5+A-B=0
因式分解得，(A-B)(A^4+A^3B+A^2B^2+AB^3+B^4)=0
因为原式不可能有负根，所以后面一个因式一定大于0.
要使上式依然等于0，A-B=0

所以A=B，A和B实际上为同一根。
与原假设矛盾，所以原式不可能有两个根

Answer 3

f(x)=x^5+x-1
f"(x)=5x^4+1

x^4≥ 0
5x^4+1≥1 所以函数f(x)=x^5+x-1单调递增
值域为R
所以f(x)=x^5+x-1只有一个根
当x=0时f(x)=-1
所以x^5+x-1=0只有一个根

Answer 4

y=x^5+x-1
y′=5x^4+1>0
所以
函数单调增所以与x轴至多有一个交点
当x=0
y=-1
当x=1
y=1
所以
在(0,1)内有一个值使得y=0
所以x^5+x-1=0有一个正根

Answer 5

f(x)=x^5+x-1
f'(x)=5x^4+1>0
函数f(x)在R上单调增
f(0)=-1<0 f(1)=1>0
在(0,1)内只有一个值使得f(x)=0
x^5+x-1=0只有一个正根