Question

求微分方程的通解 请教下第3步对方程左边求积分为什么是-ln|1-y|+ln|c| 数学不大好，请详

求微分方程的通解
请教下第3步对方程左边求积分为什么是-ln|1-y|+ln|c|
数学不大好，请详细讲解下
补充图片

Answer 1

不定积分的结果一定要加任意常数C的，既然是任意常数，怎麼变化也是常数
不用C而用ln|C|，是为了能够配合公式ln|A| + ln|B| = ln|AB| 或 ln|A| - ln|B| = ln|A/B|
这样合起来了就更加简化吧~
至於为什麼∫ dy/(1 - y) = - ln|1 - y|，这个是凑微分方法计算的
即∫ dy/(1 - y) = ∫ - d(- y)/(1 - y) = - ∫ d(1 - y)/(1 - y) = - ln|1 - y| + ln|C|，常数可以任意加，但乘除要抵消才行的。
如果不会，可以用换元法：令u = 1 - y，du = - dy => dy = - du
∫ dy/(1 - y) = ∫ (- du)/u = - ∫ du/u = - ln|u| + ln|C| = - ln|1 - y| = ln|C|，回代，得出结果也一样的
所以∫ dy/(1 - y) = ∫ dx/(1 + x)
- ln|1 - y| + ln|C| = ln|1 + x|
=> ln|C| - ln|1 - y| = ln|1 + x|
=> ln|C/(1 - y)| = ln|1 + x|，上面提到的ln|A| - ln|B| = ln|A/B|
=> C/(1 - y) = 1 + x，两边去掉自然对数
=> 1 - y = C/(1 + x)
∴ y = 1 - C/(1 + x)，C为任意常数项

Answer 2

∫dy/(1-y)=-∫d(1-y)/(1-y)=-ln(1-y)+lnC.

追问

∫dy/(1-y)
=-∫d(1-y)/(1-y) 为什么前边要加负号呢？
=-ln(1-y)+lnC. 为什么要加lnC
谢谢了，数学基础不大好

追答

d(1-y)=-dy.

Answer 3

应该是+C,而不是+lnC