Question

sin x的平方的泰勒展开式可以直用sinx的泰勒展开式的平方来求么？最好有证明过程

Answer 1

可以。

sinx=∑x^(2n+1)/(2n+1)!

sin^2x=(sinx)^2

泰勒公式的几何意义是利用多项式函数来逼近原函数，由于多项式函数可以任意次求导，易于计算，且便于求解极值或者判断函数的性质，因此可以通过泰勒公式获取函数的信息，同时，对于这种近似，必须提供误差分析，来提供近似的可靠性。

在高等数学的理论研究及应用实践中,泰勒公式有着十分重要的应用，简单归纳如下：

(1)应用泰勒中值定理(泰勒公式)可以证明中值等式或不等式命题。

(2)应用泰勒公式可以证明区间上的函数等式或不等式。

(3)应用泰勒公式可以进行更加精密的近似计算。

(4)应用泰勒公式可以求解一些极限。

(5)应用泰勒公式可以计算高阶导数的数值。

Answer 2

可以
sinx=∑x^(2n+1)/(2n+1)!
sin^2x=(sinx)^2

Answer 3

可以，sinx^2=（x-x^3/3*2*1+x^3的高阶无穷小）^2=x^2-x^4/3+x^4的高阶无穷小

Answer 4

降次，
(sinx)^2=
[1-cos(2x)]/2