Question

设A为n阶方阵,且A是可逆的,证明det(adjA)=(detA)的(n-1)次方

Answer 1

AA*=det(A)E,A*是A的伴随阵，取行列式得

det(A)det(A*)=det(A)^ndet(E)=det(A)^n

由于det(A)不等于0

因此有det(A*)=(det(A))^(n－1)

此式当det(A)=0时也成立

扩展资料：

把行列式中某一行（列）的所有元素都乘以一个数K，等于用数K乘以行列式。如果行列式的某行(列）的各元素是两个元素之和，那么这个行列式等于两个行列式的和。

如果行列式中有两行（列）相同，那么行列式为零。（所谓两行（列）相同就是说两行（列）的对应元素都相等）如果行列式中两行（列）成比例，那么行列式为零。把一行（列）的倍数加到另一行（列），行列式不变。

Answer 2

有个重要关系式：AA*=det(A)E，A*是A的伴随阵。取行列式得
det(A)det(A*)=det(A)^ndet(E)=det(A)^n，由于det(A)不等于0，
因此有det(A*)=(det(A))^(n－1)。
顺带说一句，此式当det(A)=0时也成立。