求七年级奥数题及其答案
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初一数学题
1．下列结论中，正确的是( D )．
A．若一个数是整数，则这个数一定是有理数
B．若一个数是有理数，则这个数一定是整数
C．若一个数是有理数，则这个数一定是负数
D．若一个数是有理数，则这个数一定是正数
2．若一个数的相反数的倒数是自然数，则这个数是( )．
A． B．- C．3 D．-5
3．若a•b＜｜a•b｜，则下列正确结论是( )．
A．a＜0，b＜0 B．a＞0，b＜0
C．a＜0，b＞0 D．a•b＜0
4．a为任意有理数，则下列四组数中的数字都不可能是a2的末位数字的应是( )．
A．3 4 9 0 B．2 3 7 8
C．4 5 6 7 D．1 5 6 9
5．若(a+3)2与｜b-1｜互为相反数，则( )．
A．a= -3，b= -1 B．a= -3，b=l
C．a=3，b=1 D．a=3．b= -1
6．甲队有32人，乙队有28人，如果要使甲队人数是乙队人数的2倍，那么需要从乙队抽调到甲队的人数是( )．
A．8 B．9 C．10 D．11
7．洗衣机每台原价为a元，在第一次降价20％的基础上，再降价15％，则洗衣机现价为( )．
A．65％a元 B．(8％a+75％a)元
C．77％a元 D．68％a
8．一列长200 m的火车以20 m／s的速度通过1 000 m的隧道，这列火车完全通过隧道需要( )．
A．70 s B．60 s C．50 s D．30 s
9．图中经过折叠后围成一个立方体的是( )．
10．如图M-1所示，直线l上有四点A、B、C、D，则射线共有( )．
A．2条 B．4条 C．6条 D．8条
11．∠α的补角是142°，∠β的余角是52°，则∠α和∠β的大小关系是( )．
A．∠α＞∠β B．∠α＜∠β
C．∠α＝∠β D．不能确定
12．如图M-2所示，OB、OC是∠AOD内的任意两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，若∠MON=α，∠BOC=β，则表示∠AOD为( )．
A．2α-β B．α-β
C．α+β D．以上都不正确
13．一台电视机成本价为a元，销售价比成本价增加25％，因库存积压，所以就按销售价的70％ 售，那么每台实际售价为( )．
A．(1+25％)(1+70％)a元
B．70％(1+25％)a元
C．(1+25％)(1-70％)a元
D．(1+25％+70％)a元
14．一艘潜水艇正在水下-50 m处执行任务，距它正上方30 m处有一条鲨鱼正好游过，这条鲨鱼的高度为 m．
15．地球的表面积是514 000 000 km2，用科学记数法表示是 km2．
16． 展开后侧面是扇形， 展开后侧面是长方形．
17．时钟1点50分时，时针和分针夹角是 ．
18．如果2x= 与3(x+a)=a-5x是同解方程，那么a-1= ．
19．长方形一边长为2a+b，周长是6a+5b，当a=3，b=2时，这个长方形的面积为 ．
(1)
(2)－43×0.01+(-3)3×0.01-23×0.01-0.01;
(3)
21． 解下列方程：
(1)
(2)
22．已知y=1是方程2- (m-y)=2y的解，那么求关于x的方程m(x-3)-2=m(2x-5)的解．
23．关于x的方程kx=4的解为自然数，求k所能取的整数值．
24．如图M-3所示，O是直线AB上的一点，OE平分∠BOC，若∠BOC＝40°43′，求∠AOE的度数．
25．某工人原计划13小时生产一批零件，后因每小时多生产10件，用12小时不但完成了任务，而且比原计划多生产了
60件，问原计划生产了多少个零件？
26．一个三角形3条边长的比是2∶4∶5，最长的一条边比最短的一条边长6 cm，求这个三角形的周长．
27．某学校计划向山区同学捐增3 500册图书，实际共捐赠了4 125册，其中初中学生捐赠了原计划的120％，高中学生捐赠了原计划的115％，问初中学生和高中学生原计划分别捐赠了多少册?
28．某种商品的出厂价是每件a元，商店按出厂价进货后，另加10％的利润销售．
(1)写出销售x(件)商品的收款金额y(元)的售价公式；
(2)计算当x=12，a=250时，求y的值．
一、1．A 分析：根据有理数的意义，整数、分数统称为有理数，故B、C、D三个选项都不完全，应选择A．
2．B 分析：因为这个数的相反数的倒数是自然数，所以这个数一定是负数且是分数，应选择B．
3．D 分析：因为a•b＜｜a•b｜，所以a、b中任一个都不为零，所以a、b同正或同负，或一正一负，而同正时或同负时，a•b=｜a•b｜，所以只有一正一负，即a•b＜0，应选择D．
4．B 分析：因a是整数，所以a2也是整数，而a2代表两个相同整数相乘，所以a2的末位数字是0~9这十个数字中相同两个数字乘积的末位数，而这十个数字中任一个数 的平方，末位数字只能是O、1、4、5、6、9中的一个，所以A、C、D三个选项都可能出现。应选择B．
5．B 分析：∵(a+3)2≥0，｜b-1｜≥0，且(a+3)2与｜b-1｜互为相反数，∴a+3=0，b-1=0，即a= -3，b=1，故选B．
6．A 分析：本题的等量关系是：调动后，甲队人数=2×乙队人数．设从乙队调x人到甲队，由题意得32+x=2(28－x)，解得x＝8，故选A．
7．D 分析：∵原价为a元，第一次降价20％，则为(1-20％)a，即80％a，第二次再降价15％，则现价为80％a•(1-15％)=68％a，故选D．
8．B 分析：要使火车完全通过隧道，则应连同车身长一起作为距离，则有：(1 000+200)÷20=60(s)，故选B．
9．D 分析：A、C图无法折成，B有7个面，则不可能，故选D．
10．D 分析：以A点为端点的射线有两条，以B点为端点的射线有两条，以C、D为端点的射线也各有两条，因此共有8条，应选D．
11．C 分析：∵∠α的补角是142°，°∴∠α=180°-142°= 38°；∵∠β的余角是52°，∴∠β=90°-52°=38°；∴∠α=∠β，故选C．
12．A 分析：∵∠MON=α，∠BOC=β，∴∠NOC+∠BOM =∠MON-∠BOC=α-β．
又∵OM平分∠AOB，ON平分∠COD，∴∠DON=∠NOC，∠BOM=∠MOA，
∴∠DON+∠MOA=∠NOC+∠BOM=α-β．∴∠AOD=∠DON+∠MOA+∠NOC+∠BOM+∠BOC=2α-2β+β=2α-β．应选A．
13．B 分析：A按销售价的70％出售，错误认为提价70％，C按销售价的70％出售，错误认为降价70％，D中错误认为提价25％，再提价70％．
二、14．-20 分析：潜水艇在水下-50 m处，则与其具有相反意义的量，距它正上方30 m处，记作+30，则鲨鱼的高度为-50+30= -20(m)．
15．5．14×108 分析：用科学记数法表示数，应写成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位数，n是正整数，关键是确定10n中的n，指数n=位数-1，故n=9-1=8．
16．圆锥 圆柱 分析：侧面展开图是以母线为边，底面周长为扇形的弧长，则应为圆锥，圆柱的侧面展开图是长方形．
17．115° 分析：时针每小时转的角度为30°，1时50分时时针距12时是30°+30°× =55°，分针距12时为30°×2=60°，故为55°+60°=115°．
18．- 分析：∵2x= 与3(x+a)=a-5x是同解方程，∴a=- ，所以- -1= - ．
19．48 分析：首先求出长方形的长和宽，再利用长方形的面积公式求解．
三、20． 解：原式＝ × － × - × ×
＝-
(2)-1 解：原式=[-43+(-3)3-23-1]×0．01=(-64-27-8-1)× = -100× = -1．
(3)- 解：
＝－
＝－
21．(1)x= 分析：去括号，得 x- (x-1)= ，去分母，得6x-3(x-1)=8(x-1)；去括号，得6x-3x+3=8x-8，移项，合并同类项，得-5x= -11，系数化成1，得x=
(2)x=5分析：去大括号，得 +2=1，去括号，得 =0,∴ x-1=0，
解得x=5．
点拨：解一元一次方程的五个步骤的顺序不是固定不变的．
四、22．0 分析：因为y=1是方程2- (m-y)=2y的解，所以把y=1代入方程2- (m-1)=2×1，2- m+ =2，m=1，把m=1代人方程m(x-3)-2=m(2x-5)中解x的值．x-3-2=2x-5，得x=0．
23．1或2或4 分析：解方程kx=4．解之得x= ，因为原方 程的解为自然数，∴k只能为4的约数，故是1或2或4．
24．159°38′30″ 分析：∵OE平分∠BOC，∴∠BOE= ∠BOC．∵∠BOC=40°43′，∴∠BOE=40°43′÷2=20°21′30″．∵AB是直线，∴∠AOE=180°-∠BOE=180°-20°21′30″=159°38′30″．
五、25．分析：此题属于工程问题，其基本关系：工作量=工效×时间．
解：设原计划生产x个零件，那么改进后生产(x+60)个零件，得 =10．x=780．故原计划生产780个零件．
26．分析：此题属于分配问题中的比例分配问题，特别要注意，在解比例分配问题时，选用分配比例的方法设元．
解：设三角形的3条边长分别是：2x cm、4x cm、5x cm．依题意得5x-2x=6，解得x=2，∴2x=4，4x=8，5x=10．周长=4+8+10=22(cm)．
27．解：设初中学生原计划捐x册图书，则高中学生为(3 500-x)册，根据题意可得120％•x+115％(3 500-x)=4 125，解之得x=2 000，高中学生捐3 500-2 000= 1 500(册)，即初中学生捐赠2 000册，高中学生捐赠1 500册．
28．分析：根据题意，每件的售价应为a(1+10％)．
解：(1)y=x•a(1+10％)；
(2)当x=12，a=250时，y=x•a(1+10％)=12×250×(1+10％)=3 000 ×1．1=3 300(元)．
点拨：收款金额=售价×件数．
一、选择题：（本题共24分，每小题3分）
在下列各题的四个备选答案中，只有一个答案是正确的，请你把正确答案前的字母填写在相应的括号中.
1. 若一个数的倒数是7，则这个数是（ ）.
A. －7 B. 7 C. D.
2. 如果两个等角互余，那么其中一个角的度数为（ ）.
A. 30° B. 45° C. 60° D. 不确定
3. 如果去年某厂生产的一种产品的产量为100a件，今年比去年增产了20％，那么今年的产量为（ ）件.
A. 20a B. 80a C. 100a D. 120a
4. 下列各式中结果为负数的是（ ）.
A. B. C. D.
5. 如图，已知点C是线段AB的中点，点D是CB的中点，那么下列结论中错误的是（ ）.
A. AC=CB B. BC=2CD C. AD=2CD D.
6. 下列变形中，根据等式的性质变形正确的是（ ）.
A. 由 ，得x=2
B. 由 ，得x=4
C. 由 ，得x=3
D. 由 ，得
7. 如图，这是一个马路上的人行横道线，即斑马线的示意图，请你根据图示判断，在过马路时三条线路AC、AB、AD中最短的是（ ）.
A. AC B. AB C. AD D. 不确定
8. 如图，有一块表面刷了红漆的立方体，长为4厘米，宽为5厘米，高为3厘米，现在把它切分为边长为1厘米的小正方形，能够切出两面刷了红漆的正方体有（ ）个.
A. 48 B. 36 C. 24 D. 12
二、填空题：（本题共12分，每空3分）
9. 人的大脑约有100 000 000 000个神经元，用科学记数法表示为 .
10. 在钟表的表盘上四点整时，时针与分针之间的夹角约为 度.
11. 一个角的补角与这个角的余角的差等于 度.
12. 瑞士的教师巴尔末从测量光谱的数据 ， ， ， …中得到了巴尔末公式，请你按这种规律写出第七个数据，这个数据为 .
三、解答题：（本题共30分，每小题5分）
13. 用计算器计算：（结果保留3个有效数字）
14. 化简：
15. 解方程
16. 如示意图，工厂A与工厂B想在公路m旁修建一座共用的仓库O，并且要求O到A与O到B的距离之和最短，请你在m上确定仓库应修建的O点位置，同时说明你选择该点的理由.
17. 解方程
四、解答题：（本题共23分，第19至第21题各4分，第22题5分，第23题6分）
19. 已知 ，求代数式 的值。
20. 如图，点O是直线AB上一点，OC是射线，OD平分∠COB，过点O作射线OE. 问当射线OE满足什么条件时，∠EOC与∠DOC互余，并可推证出∠EOC与∠EOB互补，简单说明理由.
22. 如图，已知∠BOC=2∠AOB，OD平分∠AOC，若∠BOD=20°，求∠AOB的度数.
1. D 2. B 3. D 4. B 5. C 6. B 7. B 8. C
9. 10. 120° 11. 90° 12.
13. 解： 。14. 解：
1分
3分
5分
15. 解：
2分
4分
5分
16. 解：连结AB交直线l于点O，则O点为所求的点。 3分
根据连结两点之间的所有的线中线段最短，可知OA+OB最短。 5分
17.
解： 1分
2分
3分
4分
5分
。19. 解：由已知可求 1分
3分
＝－1 4分
20. 解：当OE平分∠AOC时，结论成立。 1分
理由：由图形可知∠AOC+∠COB=180°，及∠AOE+∠EOB＝180° 2分
因OE平分∠AOC，且OD平分∠BOC，
所以∠EOC+∠COD=90°.
即∠EOC与∠DOC互余. 3分
又∠EOC=∠AOE，
则∠EOC+∠EOB=180°.
即∠EOC与∠EOB互补. 4分
所以，当OE平分∠AOC时，结论成立。
22. 解：由∠BOC=2∠AOB，
可有∠AOC=3∠AOB. 1分
又因OD平分∠AOC，有
∠AOD＝ ∠AOB＝∠AOB+∠BOD. 3分
即∠AOB=2∠DOB＝2×20°＝40°. 4分
答：所求∠AOB等于40度. 5分
25. 解：设粗的蜡烛长为“1”（或为a），停电的时间为x小时 1分
依题意 4分
解得 5分
1． 的绝对值是 ； 的倒数是 ； 的相反数是 .
2．我国西部地区的面积约为6.40×106平方千米，它精确到 位，有 个有效数字.
3．若 与 是同类项，则mn= .
4．某足球队在足球联赛中共赛22场，得39分，若胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，已知该球队共负7场，则该球队共胜 场.
5．已知方程 与方程 有相同的解，那么k= .
6．如图，若 ，则 .
7．延长AB到C点，使 ，D为AC的中点，BC=2，则AD= .
8．如果一个角与它的余角之比为1∶2，那么这个角与它的补角之比
为 .
9．如图，O是直线AB上的一点， ，OE平分 ，则图中小于平角的角共有 个，其中互余的角共有 对.
10．已知 ，过O的射线OC使 ，则 .
二、选择题（每小题3分，共30分。11~18为单选题，只有一个选项最符合题意，19~20为多选题，有两个或两个以上选项符合题意。）
11．若 ，则 的值是（ ）
A．5 B．1 C．3或1 D．5或1
12．已知 ，则代数式 的值为（ ）
A．-1 B．1 C．0 D．2
13．如果方程 的解是 ，那么a的值为（ ）
A．3 B．5 C．-5 D．-13
14．小明在假期里参加了四天一期的夏令营活动，这四天各天的日期之和为86，则夏令营的开营日为（ ）
A．20日 B．21日 C．22日 D．23日
15．下列图形中，不是正方体展开图的是（ ）
A． B． C． D．
16．3点半时，钟表的时针和分针所成锐角是（ ）
A．70° B．75° C．85° D．90°
17．如图，已知 ，那么 等于（ ）
A．60° B．70° C．80° D．90°
18．如图，已知 ，
则 （ ）
A．80° B．70° C．60° D．40°
19．下列变形中，正确的是（ ）
A．若 ，则x=5 B．若 则
C．若 ，则 D．若 ，则
20．如图，直线 ，且 ，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、解答题（8小题，共60分）
21．解方程（每小题4分，共16分）
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） .
22．（6分）化简求值
求 的值，其中
23．（6分）如图，C、D将线段AB分成2∶3∶4三部分，E、F、G分别是AC、CD、DB的中点，且EG=12cm，求AF的长.
24．（6分）某件商品的标价为1100元，若商店按标价的80%降价销售仍可获利10%，求该商品的进价是多少元？
25．（6分）如图所示，O是直线AC上一点，OB是一条射线，OD平分 ，OE在 内， ，求 的度数.
26．（6分）某人原计划骑车以12千米/时的速度由A地到B地，这样便可以在规定的时间到达，但他因事将原计划出发的时间推迟了20分钟，只好以每小时15千米的速度前进，结果比规定的时间早4分钟到达B地，求A、B两地间的距离.
27．（7分）如图，已知 ，求证：
28．（7分）某中学库存若干套桌凳，准备修理后支援贫困山区学校，现有甲、乙两木工组，甲每天修桌凳16套，乙每天修桌凳比甲多8套，甲单独修完这些桌凳比乙单独修完多用20天，学校每天付甲组80元修理费，付乙组120元修理费.
（1）问该中学库存多少套桌凳？
（2）在修理过程中，学校要派一名工人进行质量监督，学校负担他每天10元生活补助费，现有三种修理方案：①由甲单独修理；②由乙单独修理；③甲、乙合作同时修理. 你认为哪种方案省时又省钱？为什么？
1． ； 2．万，3； 3．4（其中 ）； 4．12；
5．-6； 6．100°； 7．4； 8．1∶5；
9．9，6（ ）；
10．30°或150°
11．D 12．C 13．A 14．A 15．B 16．B 17．B
18．C 19．BCD 20．AC
21．（1） ；（2） ；（3） ；（4）
22．解：原式=
当 ， 时，原式
23．解：设 ，则 ，又有E、G分别平分AC、DB，
故 ，由 ，得x=2,
∴
24．解：设该商品的进价为x元，由题意得 ，解方程得x=800.
答：该商品的进价为800元.
25．解：设 为x°，则 ，由OD平分 ，得 ，
故有 ，解方程得x=30，故
26．解：设A、B两地间距离为x千米，由题意得 ，解方程得x=24.
答：A、B两地间距离为24千米.
27．证明：∵ （已知），∴ （垂直于同一条直线的两直线平行）
∴ （两直线平行，同位角相等）
又∵ （已知）
∴ （同位角相等，两直线平行）
∴ （两直线平行，内错角相等）
∴ （等量代换）
28．解：（1）设该中学库存x套桌凳，由题意得： ，解方程得x=960.
（2）设①②③三种修理方案的费用分别为y1、y2、y3元，则：
综上可知，选择方案③更省时省钱.
1、如果零上5℃记作＋5℃，那么零下5℃记作（ ）
A．－5 B．－10 C．－10℃ D．－5℃
2、下列叙述正确的是（ ）
A．存在最小的有理数 B．存在最小的正整数
C．存在最小的整数 D．存在最小的分数
3、若一个数的相反数是最大的负整数，则这个数是（ ）
A．1 B．－1 C．0 D．0或－1
4、 的倒数的绝对值是（ ）
A． B．－ C．2 D．－2
5、手电筒发射出来的光线，给我们的感觉是 （ ）
A、线段 B、射线 C、直线 D、折线
6、地球上陆地的面积约为148 000 000平方千米，用科学记数法表示为 （ ）
A．148×106平方千米 B．14.8×107平方千米
C．1.48×108平方千米 D．1.48×109平方千米
7、 下面的图形中，是圆锥的侧面展开图的是 （ ）
8、下列各式中，正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、
9、下列各式中，不是方程的是 （ ）
A、 = 1； B、3 = 2 +5 C、 = 0 D、2 －3 + 1
10、下列说法中正确的个数是 （ ）
①由两条射线组成的图形叫做角 ②角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的角度有关 ③角的两边是两条射线 ④把一个角放到一个放大10倍的放大镜下观看，角度数也扩大10倍
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11、比较大小（用”>”或”<”表示）: 。
12、 。
13、近似数0.034，精确到 位。
14、单项式 。
15、如图，A、B、C三点在同一直线上，
用上述字母表示的不同线段共有_____条。
16、若一个角的余角是 ，则这个角的大小为____________。
17、 。
18、已知点B在线段AC上，AB=6cm，AC=10cm，P、Q分别是AB、AC的中点,则PQ = _______。
19、列出等式表示：比a大5的数等于8 。
20、 。
21、
22、
23、
24、
25、（x3－2y3－3x2y）－（3x3－3y3－7x2y）
26、解方程：
28、（6分）如图，已知∠AOB= ，∠BOC=50°，∠COD=21°，OE平分∠AOD ，
求∠AOE的度数。（精确到分）
29、（8分）一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了2.5小时。已知水流的速度是3千米/时，求船在静水中的平均速度。
30、（8分）一个角的补角是它的3倍，这个角是多少度？
31、（10分）某商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？
参考答案及解析
1、D 2、B 3、A 4、C 5、B 6、C 7、A 8、D 9、D 10、B
11、﹥ 12、9 13、千分 14、-5 15、3 16、 17、 18、2cm19、 20、
21、解：原式=12+18-7-15 ……………………（2分）
=30-22 ……………………（4分）
=8 ……………………（5分）
五、解答题（共32分）
28、解：因为∠AOB= ∠BOC= ∠COD= …………（1分）
所以∠AOD= …………（3分）
又因为 OE平分∠AOD …………（4分）
所以∠AOE= …………（5分）
∠AOE= …………（6分）
29、解：设船在静水中的平均速度为 千米/时，则顺流速度为 千米/时，逆流速度为 千米/时。…………（1分） 方程得， …………（4分）
去括号，得 …………（7分）
答：船在静水中的平均速度为27千米/时。…………（8分）
30、解：设这个角为 ，则它的补角为 ，依题意得，…………（1分）
…………（4分）
…………（7分）
答：这个角是 …………（8分）
31、解：设盈利25%的那件衣服的进价是 元，根据进价与得润的和等于售价，列得方程 …………（1分）
…………（3分）
…………（4分）
类似地，设另一件亏损衣服的进价为 元，它的商品利润是 元，列方程 …………（5分）
…………（7分）
…………（8分）
那么这两件衣服的进价是 元，而两件衣服的售价为120元。
所以，这两件衣服亏损8元。 …………（10分）
1．下列结论中，正确的是( D )．
A．若一个数是整数，则这个数一定是有理数
B．若一个数是有理数，则这个数一定是整数
C．若一个数是有理数，则这个数一定是负数
D．若一个数是有理数，则这个数一定是正数
2．若一个数的相反数的倒数是自然数，则这个数是( )．
A． B．- C．3 D．-5
3．若a•b＜｜a•b｜，则下列正确结论是( )．
A．a＜0，b＜0 B．a＞0，b＜0
C．a＜0，b＞0 D．a•b＜0
4．a为任意有理数，则下列四组数中的数字都不可能是a2的末位数字的应是( )．
A．3 4 9 0 B．2 3 7 8
C．4 5 6 7 D．1 5 6 9
5．若(a+3)2与｜b-1｜互为相反数，则( )．
A．a= -3，b= -1 B．a= -3，b=l
C．a=3，b=1 D．a=3．b= -1
6．甲队有32人，乙队有28人，如果要使甲队人数是乙队人数的2倍，那么需要从乙队抽调到甲队的人数是( )．
A．8 B．9 C．10 D．11
7．洗衣机每台原价为a元，在第一次降价20％的基础上，再降价15％，则洗衣机现价为( )．
A．65％a元 B．(8％a+75％a)元
C．77％a元 D．68％a
8．一列长200 m的火车以20 m／s的速度通过1 000 m的隧道，这列火车完全通过隧道需要( )．
A．70 s B．60 s C．50 s D．30 s
9．图中经过折叠后围成一个立方体的是( )．
10．如图M-1所示，直线l上有四点A、B、C、D，则射线共有( )．
A．2条 B．4条 C．6条 D．8条
11．∠α的补角是142°，∠β的余角是52°，则∠α和∠β的大小关系是( )．
A．∠α＞∠β B．∠α＜∠β
C．∠α＝∠β D．不能确定
12．如图M-2所示，OB、OC是∠AOD内的任意两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，若∠MON=α，∠BOC=β，则表示∠AOD为( )．
A．2α-β B．α-β
C．α+β D．以上都不正确
13．一台电视机成本价为a元，销售价比成本价增加25％，因库存积压，所以就按销售价的70％ 售，那么每台实际售价为( )．
A．(1+25％)(1+70％)a元
B．70％(1+25％)a元
C．(1+25％)(1-70％)a元
D．(1+25％+70％)a元
14．一艘潜水艇正在水下-50 m处执行任务，距它正上方30 m处有一条鲨鱼正好游过，这条鲨鱼的高度为 m．
15．地球的表面积是514 000 000 km2，用科学记数法表示是 km2．
16． 展开后侧面是扇形， 展开后侧面是长方形．
17．时钟1点50分时，时针和分针夹角是 ．
18．如果2x= 与3(x+a)=a-5x是同解方程，那么a-1= ．
19．长方形一边长为2a+b，周长是6a+5b，当a=3，b=2时，这个长方形的面积为 ．
(1)
(2)－43×0.01+(-3)3×0.01-23×0.01-0.01;
(3)
21． 解下列方程：
(1)
(2)
22．已知y=1是方程2- (m-y)=2y的解，那么求关于x的方程m(x-3)-2=m(2x-5)的解．
23．关于x的方程kx=4的解为自然数，求k所能取的整数值．
24．如图M-3所示，O是直线AB上的一点，OE平分∠BOC，若∠BOC＝40°43′，求∠AOE的度数．
25．某工人原计划13小时生产一批零件，后因每小时多生产10件，用12小时不但完成了任务，而且比原计划多生产了
60件，问原计划生产了多少个零件？
26．一个三角形3条边长的比是2∶4∶5，最长的一条边比最短的一条边长6 cm，求这个三角形的周长．
27．某学校计划向山区同学捐增3 500册图书，实际共捐赠了4 125册，其中初中学生捐赠了原计划的120％，高中学生捐赠了原计划的115％，问初中学生和高中学生原计划分别捐赠了多少册?
28．某种商品的出厂价是每件a元，商店按出厂价进货后，另加10％的利润销售．
(1)写出销售x(件)商品的收款金额y(元)的售价公式；
(2)计算当x=12，a=250时，求y的值．
一、1．A 分析：根据有理数的意义，整数、分数统称为有理数，故B、C、D三个选项都不完全，应选择A．
2．B 分析：因为这个数的相反数的倒数是自然数，所以这个数一定是负数且是分数，应选择B．
3．D 分析：因为a•b＜｜a•b｜，所以a、b中任一个都不为零，所以a、b同正或同负，或一正一负，而同正时或同负时，a•b=｜a•b｜，所以只有一正一负，即a•b＜0，应选择D．
4．B 分析：因a是整数，所以a2也是整数，而a2代表两个相同整数相乘，所以a2的末位数字是0~9这十个数字中相同两个数字乘积的末位数，而这十个数字中任一个数 的平方，末位数字只能是O、1、4、5、6、9中的一个，所以A、C、D三个选项都可能出现。应选择B．
5．B 分析：∵(a+3)2≥0，｜b-1｜≥0，且(a+3)2与｜b-1｜互为相反数，∴a+3=0，b-1=0，即a= -3，b=1，故选B．
6．A 分析：本题的等量关系是：调动后，甲队人数=2×乙队人数．设从乙队调x人到甲队，由题意得32+x=2(28－x)，解得x＝8，故选A．
7．D 分析：∵原价为a元，第一次降价20％，则为(1-20％)a，即80％a，第二次再降价15％，则现价为80％a•(1-15％)=68％a，故选D．
8．B 分析：要使火车完全通过隧道，则应连同车身长一起作为距离，则有：(1 000+200)÷20=60(s)，故选B．
9．D 分析：A、C图无法折成，B有7个面，则不可能，故选D．
10．D 分析：以A点为端点的射线有两条，以B点为端点的射线有两条，以C、D为端点的射线也各有两条，因此共有8条，应选D．
11．C 分析：∵∠α的补角是142°，°∴∠α=180°-142°= 38°；∵∠β的余角是52°，∴∠β=90°-52°=38°；∴∠α=∠β，故选C．
12．A 分析：∵∠MON=α，∠BOC=β，∴∠NOC+∠BOM =∠MON-∠BOC=α-β．
又∵OM平分∠AOB，ON平分∠COD，∴∠DON=∠NOC，∠BOM=∠MOA，
∴∠DON+∠MOA=∠NOC+∠BOM=α-β．∴∠AOD=∠DON+∠MOA+∠NOC+∠BOM+∠BOC=2α-2β+β=2α-β．应选A．
13．B 分析：A按销售价的70％出售，错误认为提价70％，C按销售价的70％出售，错误认为降价70％，D中错误认为提价25％，再提价70％．
二、14．-20 分析：潜水艇在水下-50 m处，则与其具有相反意义的量，距它正上方30 m处，记作+30，则鲨鱼的高度为-50+30= -20(m)．
15．5．14×108 分析：用科学记数法表示数，应写成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位数，n是正整数，关键是确定10n中的n，指数n=位数-1，故n=9-1=8．
16．圆锥 圆柱 分析：侧面展开图是以母线为边，底面周长为扇形的弧长，则应为圆锥，圆柱的侧面展开图是长方形．
17．115° 分析：时针每小时转的角度为30°，1时50分时时针距12时是30°+30°× =55°，分针距12时为30°×2=60°，故为55°+60°=115°．
18．- 分析：∵2x= 与3(x+a)=a-5x是同解方程，∴a=- ，所以- -1= - ．
19．48 分析：首先求出长方形的长和宽，再利用长方形的面积公式求解．
三、20． 解：原式＝ × － × - × ×
＝-
(2)-1 解：原式=[-43+(-3)3-23-1]×0．01=(-64-27-8-1)× = -100× = -1．
(3)- 解：
＝－
＝－
21．(1)x= 分析：去括号，得 x- (x-1)= ，去分母，得6x-3(x-1)=8(x-1)；去括号，得6x-3x+3=8x-8，移项，合并同类项，得-5x= -11，系数化成1，得x=
(2)x=5分析：去大括号，得 +2=1，去括号，得 =0,∴ x-1=0，
解得x=5．
点拨：解一元一次方程的五个步骤的顺序不是固定不变的．
四、22．0 分析：因为y=1是方程2- (m-y)=2y的解，所以把y=1代入方程2- (m-1)=2×1，2- m+ =2，m=1，把m=1代人方程m(x-3)-2=m(2x-5)中解x的值．x-3-2=2x-5，得x=0．
23．1或2或4 分析：解方程kx=4．解之得x= ，因为原方 程的解为自然数，∴k只能为4的约数，故是1或2或4．
24．159°38′30″ 分析：∵OE平分∠BOC，∴∠BOE= ∠BOC．∵∠BOC=40°43′，∴∠BOE=40°43′÷2=20°21′30″．∵AB是直线，∴∠AOE=180°-∠BOE=180°-20°21′30″=159°38′30″．
五、25．分析：此题属于工程问题，其基本关系：工作量=工效×时间．
解：设原计划生产x个零件，那么改进后生产(x+60)个零件，得 =10．x=780．故原计划生产780个零件．
26．分析：此题属于分配问题中的比例分配问题，特别要注意，在解比例分配问题时，选用分配比例的方法设元．
解：设三角形的3条边长分别是：2x cm、4x cm、5x cm．依题意得5x-2x=6，解得x=2，∴2x=4，4x=8，5x=10．周长=4+8+10=22(cm)．
27．解：设初中学生原计划捐x册图书，则高中学生为(3 500-x)册，根据题意可得120％•x+115％(3 500-x)=4 125，解之得x=2 000，高中学生捐3 500-2 000= 1 500(册)，即初中学生捐赠2 000册，高中学生捐赠1 500册．
28．分析：根据题意，每件的售价应为a(1+10％)．
解：(1)y=x•a(1+10％)；
(2)当x=12，a=250时，y=x•a(1+10％)=12×250×(1+10％)=3 000 ×1．1=3 300(元)．
点拨：收款金额=售价×件数．
一、选择题：（本题共24分，每小题3分）
在下列各题的四个备选答案中，只有一个答案是正确的，请你把正确答案前的字母填写在相应的括号中.
1. 若一个数的倒数是7，则这个数是（ ）.
A. －7 B. 7 C. D.
2. 如果两个等角互余，那么其中一个角的度数为（ ）.
A. 30° B. 45° C. 60° D. 不确定
3. 如果去年某厂生产的一种产品的产量为100a件，今年比去年增产了20％，那么今年的产量为（ ）件.
A. 20a B. 80a C. 100a D. 120a
4. 下列各式中结果为负数的是（ ）.
A. B. C. D.
5. 如图，已知点C是线段AB的中点，点D是CB的中点，那么下列结论中错误的是（ ）.
A. AC=CB B. BC=2CD C. AD=2CD D.
6. 下列变形中，根据等式的性质变形正确的是（ ）.
A. 由 ，得x=2
B. 由 ，得x=4
C. 由 ，得x=3
D. 由 ，得
7. 如图，这是一个马路上的人行横道线，即斑马线的示意图，请你根据图示判断，在过马路时三条线路AC、AB、AD中最短的是（ ）.
A. AC B. AB C. AD D. 不确定
8. 如图，有一块表面刷了红漆的立方体，长为4厘米，宽为5厘米，高为3厘米，现在把它切分为边长为1厘米的小正方形，能够切出两面刷了红漆的正方体有（ ）个.
A. 48 B. 36 C. 24 D. 12
二、填空题：（本题共12分，每空3分）
9. 人的大脑约有100 000 000 000个神经元，用科学记数法表示为 .
10. 在钟表的表盘上四点整时，时针与分针之间的夹角约为 度.
11. 一个角的补角与这个角的余角的差等于 度.
12. 瑞士的教师巴尔末从测量光谱的数据 ， ， ， …中得到了巴尔末公式，请你按这种规律写出第七个数据，这个数据为 .
三、解答题：（本题共30分，每小题5分）
13. 用计算器计算：（结果保留3个有效数字）
14. 化简：
15. 解方程
16. 如示意图，工厂A与工厂B想在公路m旁修建一座共用的仓库O，并且要求O到A与O到B的距离之和最短，请你在m上确定仓库应修建的O点位置，同时说明你选择该点的理由.
17. 解方程
四、解答题：（本题共23分，第19至第21题各4分，第22题5分，第23题6分）
19. 已知 ，求代数式 的值。
20. 如图，点O是直线AB上一点，OC是射线，OD平分∠COB，过点O作射线OE. 问当射线OE满足什么条件时，∠EOC与∠DOC互余，并可推证出∠EOC与∠EOB互补，简单说明理由.
22. 如图，已知∠BOC=2∠AOB，OD平分∠AOC，若∠BOD=20°，求∠AOB的度数.
1. D 2. B 3. D 4. B 5. C 6. B 7. B 8. C
9. 10. 120° 11. 90° 12.
13. 解： 。14. 解：
1分
3分
5分
15. 解：
2分
4分
5分
16. 解：连结AB交直线l于点O，则O点为所求的点。 3分
根据连结两点之间的所有的线中线段最短，可知OA+OB最短。 5分
17.
解： 1分
2分
3分
4分
5分
。19. 解：由已知可求 1分
3分
＝－1 4分
20. 解：当OE平分∠AOC时，结论成立。 1分
理由：由图形可知∠AOC+∠COB=180°，及∠AOE+∠EOB＝180° 2分
因OE平分∠AOC，且OD平分∠BOC，
所以∠EOC+∠COD=90°.
即∠EOC与∠DOC互余. 3分
又∠EOC=∠AOE，
则∠EOC+∠EOB=180°.
即∠EOC与∠EOB互补. 4分
所以，当OE平分∠AOC时，结论成立。
22. 解：由∠BOC=2∠AOB，
可有∠AOC=3∠AOB. 1分
又因OD平分∠AOC，有
∠AOD＝ ∠AOB＝∠AOB+∠BOD. 3分
即∠AOB=2∠DOB＝2×20°＝40°. 4分
答：所求∠AOB等于40度. 5分
25. 解：设粗的蜡烛长为“1”（或为a），停电的时间为x小时 1分
依题意 4分
解得 5分
1． 的绝对值是 ； 的倒数是 ； 的相反数是 .
2．我国西部地区的面积约为6.40×106平方千米，它精确到 位，有 个有效数字.
3．若 与 是同类项，则mn= .
4．某足球队在足球联赛中共赛22场，得39分，若胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，已知该球队共负7场，则该球队共胜 场.
5．已知方程 与方程 有相同的解，那么k= .
6．如图，若 ，则 .
7．延长AB到C点，使 ，D为AC的中点，BC=2，则AD= .
8．如果一个角与它的余角之比为1∶2，那么这个角与它的补角之比
为 .
9．如图，O是直线AB上的一点， ，OE平分 ，则图中小于平角的角共有 个，其中互余的角共有 对.
10．已知 ，过O的射线OC使 ，则 .
二、选择题（每小题3分，共30分。11~18为单选题，只有一个选项最符合题意，19~20为多选题，有两个或两个以上选项符合题意。）
11．若 ，则 的值是（ ）
A．5 B．1 C．3或1 D．5或1
12．已知 ，则代数式 的值为（ ）
A．-1 B．1 C．0 D．2
13．如果方程 的解是 ，那么a的值为（ ）
A．3 B．5 C．-5 D．-13
14．小明在假期里参加了四天一期的夏令营活动，这四天各天的日期之和为86，则夏令营的开营日为（ ）
A．20日 B．21日 C．22日 D．23日
15．下列图形中，不是正方体展开图的是（ ）
A． B． C． D．
16．3点半时，钟表的时针和分针所成锐角是（ ）
A．70° B．75° C．85° D．90°
17．如图，已知 ，那么 等于（ ）
A．60° B．70° C．80° D．90°
18．如图，已知 ，
则 （ ）
A．80° B．70° C．60° D．40°
19．下列变形中，正确的是（ ）
A．若 ，则x=5 B．若 则
C．若 ，则 D．若 ，则
20．如图，直线 ，且 ，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、解答题（8小题，共60分）
21．解方程（每小题4分，共16分）
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） .
22．（6分）化简求值
求 的值，其中
23．（6分）如图，C、D将线段AB分成2∶3∶4三部分，E、F、G分别是AC、CD、DB的中点，且EG=12cm，求AF的长.
24．（6分）某件商品的标价为1100元，若商店按标价的80%降价销售仍可获利10%，求该商品的进价是多少元？
25．（6分）如图所示，O是直线AC上一点，OB是一条射线，OD平分 ，OE在 内， ，求 的度数.
26．（6分）某人原计划骑车以12千米/时的速度由A地到B地，这样便可以在规定的时间到达，但他因事将原计划出发的时间推迟了20分钟，只好以每小时15千米的速度前进，结果比规定的时间早4分钟到达B地，求A、B两地间的距离.
27．（7分）如图，已知 ，求证：
28．（7分）某中学库存若干套桌凳，准备修理后支援贫困山区学校，现有甲、乙两木工组，甲每天修桌凳16套，乙每天修桌凳比甲多8套，甲单独修完这些桌凳比乙单独修完多用20天，学校每天付甲组80元修理费，付乙组120元修理费.
（1）问该中学库存多少套桌凳？
（2）在修理过程中，学校要派一名工人进行质量监督，学校负担他每天10元生活补助费，现有三种修理方案：①由甲单独修理；②由乙单独修理；③甲、乙合作同时修理. 你认为哪种方案省时又省钱？为什么？
1． ； 2．万，3； 3．4（其中 ）； 4．12；
5．-6； 6．100°； 7．4； 8．1∶5；
9．9，6（ ）；
10．30°或150°
11．D 12．C 13．A 14．A 15．B 16．B 17．B
18．C 19．BCD 20．AC
21．（1） ；（2） ；（3） ；（4）
22．解：原式=
当 ， 时，原式
23．解：设 ，则 ，又有E、G分别平分AC、DB，
故 ，由 ，得x=2,
∴
24．解：设该商品的进价为x元，由题意得 ，解方程得x=800.
答：该商品的进价为800元.
25．解：设 为x°，则 ，由OD平分 ，得 ，
故有 ，解方程得x=30，故
26．解：设A、B两地间距离为x千米，由题意得 ，解方程得x=24.
答：A、B两地间距离为24千米.
27．证明：∵ （已知），∴ （垂直于同一条直线的两直线平行）
∴ （两直线平行，同位角相等）
又∵ （已知）
∴ （同位角相等，两直线平行）
∴ （两直线平行，内错角相等）
∴ （等量代换）
28．解：（1）设该中学库存x套桌凳，由题意得： ，解方程得x=960.
（2）设①②③三种修理方案的费用分别为y1、y2、y3元，则：
综上可知，选择方案③更省时省钱.
1、如果零上5℃记作＋5℃，那么零下5℃记作（ ）
A．－5 B．－10 C．－10℃ D．－5℃
2、下列叙述正确的是（ ）
A．存在最小的有理数 B．存在最小的正整数
C．存在最小的整数 D．存在最小的分数
3、若一个数的相反数是最大的负整数，则这个数是（ ）
A．1 B．－1 C．0 D．0或－1
4、 的倒数的绝对值是（ ）
A． B．－ C．2 D．－2
5、手电筒发射出来的光线，给我们的感觉是 （ ）
A、线段 B、射线 C、直线 D、折线
6、地球上陆地的面积约为148 000 000平方千米，用科学记数法表示为 （ ）
A．148×106平方千米 B．14.8×107平方千米
C．1.48×108平方千米 D．1.48×109平方千米
7、 下面的图形中，是圆锥的侧面展开图的是 （ ）
8、下列各式中，正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、
9、下列各式中，不是方程的是 （ ）
A、 = 1； B、3 = 2 +5 C、 = 0 D、2 －3 + 1
10、下列说法中正确的个数是 （ ）
①由两条射线组成的图形叫做角 ②角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的角度有关 ③角的两边是两条射线 ④把一个角放到一个放大10倍的放大镜下观看，角度数也扩大10倍
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11、比较大小（用”>”或”<”表示）: 。
12、 。
13、近似数0.034，精确到 位。
14、单项式 。
15、如图，A、B、C三点在同一直线上，
用上述字母表示的不同线段共有_____条。
16、若一个角的余角是 ，则这个角的大小为____________。
17、 。
18、已知点B在线段AC上，AB=6cm，AC=10cm，P、Q分别是AB、AC的中点,则PQ = _______。
19、列出等式表示：比a大5的数等于8 。
20、 。
21、
22、
23、
24、
25、（x3－2y3－3x2y）－（3x3－3y3－7x2y）
26、解方程：
28、（6分）如图，已知∠AOB= ，∠BOC=50°，∠COD=21°，OE平分∠AOD ，
求∠AOE的度数。（精确到分）
29、（8分）一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了2.5小时。已知水流的速度是3千米/时，求船在静水中的平均速度。
30、（8分）一个角的补角是它的3倍，这个角是多少度？
31、（10分）某商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？
参考答案及解析
1、D 2、B 3、A 4、C 5、B 6、C 7、A 8、D 9、D 10、B
11、﹥ 12、9 13、千分 14、-5 15、3 16、 17、 18、2cm19、 20、
21、解：原式=12+18-7-15 ……………………（2分）
=30-22 ……………………（4分）
=8 ……………………（5分）
五、解答题（共32分）
28、解：因为∠AOB= ∠BOC= ∠COD= …………（1分）
所以∠AOD= …………（3分）
又因为 OE平分∠AOD …………（4分）
所以∠AOE= …………（5分）
∠AOE= …………（6分）
29、解：设船在静水中的平均速度为 千米/时，则顺流速度为 千米/时，逆流速度为 千米/时。…………（1分） 方程得， …………（4分）
去括号，得 …………（7分）
答：船在静水中的平均速度为27千米/时。…………（8分）
30、解：设这个角为 ，则它的补角为 ，依题意得，…………（1分）
…………（4分）
…………（7分）
答：这个角是 …………（8分）
31、解：设盈利25%的那件衣服的进价是 元，根据进价与得润的和等于售价，列得方程 …………（1分）
…………（3分）
…………（4分）
类似地，设另一件亏损衣服的进价为 元，它的商品利润是 元，列方程 …………（5分）
…………（7分）
…………（8分）
那么这两件衣服的进价是 元，而两件衣服的售价为120元。
所以，这两件衣服亏损8元。 …………（10分）
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一、选择题（每题1分，共5分）
以下每个题目里给出的A，B，C，D四个结论中有且仅有一个是正确的．请你在括号填上你认为是正确的那个结论的英文字母代号．
1．某工厂去年的生产总值比前年增长a%，则前年比去年少的百分数是 ( A )
A．a%． B．(1+a)%． C. D.
2．甲杯中盛有2m毫升红墨水，乙杯中盛有m毫升蓝墨水，从甲杯倒出a毫升到乙杯里,
0＜a＜m，搅匀后，又从乙杯倒出a毫升到甲杯里，则这时 ( A )
A．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水少．
B．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水多．
C．甲杯中混入的蓝墨水和乙杯中混入的红墨水相同．
D．甲杯中混入的蓝墨水与乙杯中混入的红墨水多少关系不定．
3.已知数x=100,则( A )
A．x是完全平方数．B．(x－50)是完全平方数．
C．(x－25)是完全平方数．D．(x+50)是完全平方数．
4．观察图1中的数轴：用字母a，b，c依次表示点A，B，C对应的数,则 的大小关系是( C )
A. ; B. < < ; C. < < ; D. < < .
5．x=9，y=－4是二元二次方程2x2+5xy+3y2=30的一组整数解，这个方程的不同的整数解共有 ( )
A．2组． B．6组．C．12组． D．16组．
二、填空题（每题1分，共5分）
1．方程|1990x－1990|=1990的根是______．
2．对于任意有理数x，y，定义一种运算*，规定x*y=ax+by－cxy，其中的a，b，c表示已知数，等式右边是通常的加、减、乘运算．又知道1*2=3，2*3=4，x*m=x（m≠0），则m的数值是______．
3．新上任的宿舍管理员拿到20把钥匙去开20个房间的门，他知道每把钥匙只能开其中的一个门，但不知道每把钥匙是开哪一个门的钥匙，现在要打开所有关闭着的20个房间，他最多要试开______次．
4．当m=______时，二元二次六项式6x2+mxy－4y2－x+17y－15可以分解为两个关于x，y的二元一次三项式的乘积．
5．三个连续自然数的平方和（填“是”或“不是”或“可能是”）______某个自然数的平方．
三、解答题（写出推理、运算的过程及最后结果．每题5分，共15分）
1．两辆汽车从同一地点同时出发，沿同一方向同速直线行驶，每车最多只能带24桶汽油，途中不能用别的油，每桶油可使一辆车前进60公里，两车都必须返回出发地点，但是可以不同时返回，两车相互可借用对方的油．为了使其中一辆车尽可能地远离出发地点，另一辆车应当在离出发地点多少公里的地方返回？离出发地点最远的那辆车一共行驶了多少公里？
2．如图2，纸上画了四个大小一样的圆，圆心分别是A，B，C，D，直线m通过A，B，直线n通过C，D，用S表示一个圆的面积，如果四个圆在纸上盖住的总面积是5(S－1)，直线m，n之间被圆盖住的面积是8，阴影部分的面积S1，S2，S3满足关系式S3= S1= S2,求S．
3.求方程 的正整数解.
初中数学竞赛辅导
2．设a，b，c为实数，且｜a｜+a=0，｜ab｜=ab，｜c｜-c=0，求代数式｜b｜-｜a＋b｜-｜c-b｜＋｜a-c｜的值．
3．若m＜0，n＞0，｜m｜＜｜n｜，且｜x＋m｜＋｜x-n｜=m＋n， 求x的取值范围．
4．设(3x-1)7=a7x7＋a6x6+…+a1x1＋a0，试求a0+a2＋a4＋a6的值．
6．解方程2｜x+1｜+｜x-3｜=6．
8．解不等式｜｜x＋3｜-｜x-1｜｜＞2．
10．x，y，z均是非负实数，且满足： x＋3y＋2z=3，3x＋3y+z=4， 求u=3x-2y＋4z的最大值与最小值．
11．求x4-2x3＋x2+2x-1除以x2+x＋1的商式和余式．
13．如图1－89所示．AOB是一条直线，OC，OE分别是∠AOD和∠DOB的平分线，∠COD=55°．求∠DOE的补角．
14．如图1－90所示．BE平分∠ABC，∠CBF=∠CFB=55°，∠EDF=70°．求证：BC‖AE．
15．如图1－91所示．在△ABC中，EF⊥AB，CD⊥AB，∠CDG=∠BEF．求证：∠AGD=∠ACB．
17．如图1－93所示．在△ABC中，E为AC的中点，D在BC上，且BD∶DC=1∶2，AD与BE交于F．求△BDF与四边形FDCE的面积之比．
18．如图1－94所示．四边形ABCD两组对边延长相交于K及L，对角线AC‖KL，BD延长线交KL于F．求证：KF=FL．
19．任意改变某三位数数码顺序所得之数与原数之和能否为999？说明理由．
20．设有一张8行、8列的方格纸，随便把其中32个方格涂上黑色，剩下的32个方格涂上白色．下面对涂了色的方格纸施行“操作”，每次操作是把任意横行或者竖列上的各个方格同时改变颜色．问能否最终得到恰有一个黑色方格的方格纸？
23．房间里凳子和椅子若干个，每个凳子有3条腿，每把椅子有4条腿，当它们全被人坐上后，共有43条腿(包括每个人的两条腿)，问房间里有几个人？
24．求不定方程49x-56y+14z=35的整数解．
25．男、女各8人跳集体舞．
(1)如果男女分站两列；
(2)如果男女分站两列，不考虑先后次序，只考虑男女如何结成舞伴． 问各有多少种不同情况？
26．由1，2，3，4，5这5个数字组成的没有重复数字的五位数中，有多少个大于34152？
27．甲火车长92米，乙火车长84米，若相向而行，相遇后经过1.5秒(s)两车错过，若同向而行相遇后经6秒两车错过，求甲乙两火车的速度．
28．甲乙两生产小队共同种菜，种了4天后，由甲队单独完成剩下的，又用2天完成．若甲单独完成比乙单独完成全部任务快3天．求甲乙单独完成各用多少天？
29．一船向相距240海里的某港出发，到达目的地前48海里处，速度每小时减少10海里，到达后所用的全部时间与原速度每小时减少4海里航行全程所用的时间相等，求原来的速度．16
30．某工厂甲乙两个车间，去年计划完成税利750万元，结果甲车间超额15％完成计划，乙车间超额10％完成计划，两车间共同完成税利845万元，求去年这两个车间分别完成税利多少万元？
31．已知甲乙两种商品的原价之和为150元．因市场变化，甲商品降价10％，乙商品提价20％，调价后甲乙两种商品的单价之和比原单价之和降低了1％，求甲乙两种商品原单价各是多少？
32．小红去年暑假在商店买了2把儿童牙刷和3支牙膏，正好把带去的钱用完．已知每支牙膏比每把牙刷多1元，今年暑假她又带同样的钱去该商店买同样的牙刷和牙膏，因为今年的牙刷每把涨到1.68元，牙膏每支涨价30％，小红只好买2把牙刷和2支牙膏，结果找回4角钱．试问去年暑假每把牙刷多少钱？每支牙膏多少钱？
33．某商场如果将进货单价为8元的商品，按每件12元卖出，每天可售出400件，据经验，若每件少卖1元，则每天可多卖出200件，问每件应减价多少元才可获得最好的效益？
34．从A镇到B镇的距离是28千米，今有甲骑自行车用0．4千米/分钟的速度，从A镇出发驶向B镇，25分钟以后，乙骑自行车，用0．6千米/分钟的速度追甲，试问多少分钟后追上甲？
35．现有三种合金：第一种含铜60％，含锰40％；第二种含锰10％，含镍90％；第三种含铜20％，含锰50％，含镍30％．现各取适当重量的这三种合金，组成一块含镍45％的新合金，重量为1千克．
(1)试用新合金中第一种合金的重量表示第二种合金的重量；
(2)求新合金中含第二种合金的重量范围；
(3)求新合金中含锰的重量范围．
｜=-a，所以a≤0，又因为｜ab｜=ab，所以b≤0，因为｜c｜=c，所以c≥0．所以a＋b≤0，c-b≥0，a-c≤0．所以
原式=-b＋(a＋b)-(c-b)-(a-c)=b．
3．因为m＜0，n＞0，所以｜m｜=-m，｜n｜=n．所以｜m｜＜｜n｜可变为m＋n＞0．当x+m≥0时，｜x+m｜=x＋m；当x-n≤0时，｜x-n｜=n-x．故当-m≤x≤n时，
｜x＋m｜＋｜x-n｜=x＋m-x＋n=m＋n．
4．分别令x=1，x=-1，代入已知等式中，得
a0+a2＋a4＋a6=-8128．
10．由已知可解出y和z
因为y，z为非负实数，所以有
u=3x-2y+4z
11. 所以商式为x2-3x+3，余式为2x-4
12．小柱的路线是由三条线段组成的折线(如图1－97所示)．
我们用“对称”的办法将小柱的这条折线的路线转化成两点之间的一段“连线”(它是线段)．设甲村关于北山坡(将山坡看成一条直线)的对称点是甲′；乙村关于南山坡的对称点是乙′，连接甲′乙′，设甲′乙′所连得的线段分别与北山坡和南山坡的交点是A，B，则从甲→A→B→乙的路线的选择是最好的选择(即路线最短）
显然，路线甲→A→B→乙的长度恰好等于线段甲′乙′的长度．而从甲村到乙村的其他任何路线，利用上面的对称方法，都可以化成一条连接甲′与乙′之间的折线．它们的长度都大于线段甲′乙′．所以，从甲→A→B→乙的路程最短．
13．如图1－98所示．因为OC，OE分别是∠AOD，∠DOB的角平分线，又 ∠AOD+∠DOB=∠AOB=180°， 所以 ∠COE=90°．
因为 ∠COD=55°， 所以∠DOE=90°-55°=35°．
因此，∠DOE的补角为 180°-35°＝145°．
14．如图1－99所示．因为BE平分∠ABC，所以
∠CBF=∠ABF，
又因为 ∠CBF=∠CFB， 所以 ∠ABF=∠CFB．
从而 AB‖CD(内错角相等，两直线平行)．
由∠CBF=55°及BE平分∠ABC，所以 ∠ABC=2×55°=110°． ①
由上证知AB‖CD，所以 ∠EDF=∠A=70°， ②
由①，②知 BC‖AE(同侧内角互补，两直线平行)．
15．如图1-100所示．EF⊥AB，CD⊥AB，所以 ∠EFB=∠CDB=90°，
所以EF‖CD(同位角相等，两直线平行)．所以 ∠BEF=∠BCD(两直线平行，同位角相等)．
①又由已知 ∠CDG=∠BEF． ② 由①，② ∠BCD=∠CDG．
所以 BC‖DG(内错角相等，两直线平行)．
所以 ∠AGD=∠ACB(两直线平行，同位角相等)．
16．在△BCD中，
∠DBC＋∠C=90°(因为∠BDC=90°)，① 又在△ABC中，∠B=∠C，所以
∠A＋∠B＋∠C=∠A＋2∠C=180°，
所以 由①，②
17．如图1－101，设DC的中点为G，连接GE．在△ADC中，G，E分别是CD，CA的中点．所以，GE‖AD，即在△BEG中，DF‖GE．从而F是BE中点．连结FG．所以
又 S△EFD＝S△BFG-SEFDG=4S△BFD-SEFDG，
所以 S△EFGD=3S△BFD．
设S△BFD=x，则SEFDG=3x．又在△BCE中，G是BC边上的三等分点，所以 S△CEG=S△BCEE，
从而 所以 SEFDC=3x＋2x＝5x，
所以 S△BFD∶SEFDC=1∶5．
18．如图1－102所示．
由已知AC‖KL，所以S△ACK=S△ACL，所以
即 KF=FL． ＋b1=9，a+a1=9，于是a+b+c＋a1＋b1+c1=9＋9+9，即2(a十b＋c)=27，矛盾！
20．答案是否定的．设横行或竖列上包含k个黑色方格及8-k个白色方格，其中0≤k≤8．当改变方格的颜色时，得到8-k个黑色方格及k个白色方格．因此，操作一次后，黑色方格的数目“增加了”(8-k)-k=8-2k个，即增加了一个偶数．于是无论如何操作，方格纸上黑色方格数目的奇偶性不变．所以，从原有的32个黑色方格(偶数个)，经过操作，最后总是偶数个黑色方格，不会得到恰有一个黑色方格的方格纸．
21．大于3的质数p只能具有6k＋1，6k＋5的形式．若p=6k＋1(k≥1)，则p+2=3(2k＋1)不是质数，所以， p=6k＋5(k≥0)．于是，p＋1=6k＋6，所以，6｜(p＋1)．
22．由题设条件知n=75k=3×52×k．欲使n尽可能地小，可设n=2α3β5γ(β≥1，γ≥2)，且有 (α+1)(β+1)(γ＋1)=75．
于是α＋1，β+1，γ＋1都是奇数，α，β，γ均为偶数．故取γ=2．这时 (α+1)(β+1)=25．
所以 故(α，β)=(0，24)，或(α，β)=(4，4)，即n=20•324•52
23．设凳子有x只，椅子有y只，由题意得 3x＋4y+2(x+y)＝43，
即 5x+6y＝43．
所以x=5，y=3是唯一的非负整数解．从而房间里有8个人．
24．原方程可化为
7x-8y+2z＝5．
令7x-8y=t，t＋2z=5．易见x=7t，y=6t是7x-8y=t的一组整数解．所以它的全部整数解是
而t=1，z=2是t＋2z=5的一组整数解．它的全部整数解是
把t的表达式代到x，y的表达式中，得到原方程的全部整数解是
25．(1)第一个位置有8种选择方法，第二个位置只有7种选择方法，…，由乘法原理，男、女各有 8×7×6×5×4×3×2×1＝40320
种不同排列．又两列间有一相对位置关系，所以共有2×403202种不同情况．
(2)逐个考虑结对问题．
与男甲结对有8种可能情况，与男乙结对有7种不同情况，…，且两列可对换，所以共有 2×8×7×6×5×4×3×2×1=80640 种不同情况．
26．万位是5的有4×3×2×1=24(个)．
万位是4的有 4×3×2×1=24(个)．
万位是3，千位只能是5或4，千位是5的有3×2×1=6个，千位是4的有如下4个：
34215，34251，34512，34521．
所以，总共有 24+24＋6+4＝58
个数大于34152．
27．两车错过所走过的距离为两车长之总和，即 92＋84=176(米)．
设甲火车速度为x米/秒，乙火车速度为y米/秒．两车相向而行时的速度为x+y；两车同向而行时的速度为x-y，依题意有
解之得
解之得x=9(天)，x＋3=12(天)．
解之得x=16(海里/小时)．
经检验，x=16海里/小时为所求之原速．
30．设甲乙两车间去年计划完成税利分别为x万元和y万元．依题意得
解之得
故甲车间超额完成税利
乙车间超额完成税利
所以甲共完成税利400+60=460(万元)，乙共完成税利350+35=385(万元)．
31．设甲乙两种商品的原单价分别为x元和y元，依题意可得
由②有
0.9x+1.2y=148.5， ③
由①得x=150-y，代入③有
0. 9(150-y)＋1.2y＝148. 5，
解之得y=45(元)，因而，x=105(元)．
32．设去年每把牙刷x元，依题意得
2×1.68＋2(x+1)(1+30％)=[2x＋3(x+1)]-0.4，
即 2×1.68＋2×1.3+2×1.3x＝5x＋2.6，
即 2.4x=2×1.68，
所以 x=1.4(元)．
若y为去年每支牙膏价格，则y=1.4＋1=2.4(元)．
33．原来可获利润4×400=1600元．设每件减价x元，则每件仍可获利(4-x)元，其中0＜x＜4．由于减价后，每天可卖出(400+200x)件，若设每天获利y元，则
y＝(4-x)(400+200x)
＝200(4-x)(2+x)
=200(8＋2x-x2)
=-200(x2-2x+1)＋200+1600
=-200(x-1)2+1800．
所以当x=1时，y最大=1800(元)．即每件减价1元时，获利最大，为1800元，此时比原来多卖出200件，因此多获利200元．
34．设乙用x分钟追上甲，则甲到被追上的地点应走了(25+x)分钟，所以甲乙两人走的路程分别是0．4(25+x)千米和0．6x千米．因为两人走的路程相等，所以
0.4(25+x)=0.6x，
解之得x=50分钟．于是
左边=0.4(25＋50)=30(千米)，
右边= 0.6×50=30(千米)，
即乙用50分钟走了30千米才能追上甲．但A，B两镇之间只有28千米．因此，到B镇为止，乙追不上甲．
35．(1)设新合金中，含第一种合金x克(g)，第二种合金y克，第三种合金z克，则依题意有
(2)当x=0时，大500克．
(3)新合金中，含锰重量为：
x•40％＋y•10％+z•50％=400-0.3x，
y=250，此时，y为最小；当z=0时，y=500为最大，即250≤y≤500，所以在新合金中第二种合金重量y的范围是：最小250克，最
而0≤x≤500，所以新合金中锰的重量范围是：最小250克，最大400克．
以下每个题目里给出的A，B，C，D四个结论中有且仅有一个是正确的．请你在括号填上你认为是正确的那个结论的英文字母代号．
1．某工厂去年的生产总值比前年增长a%，则前年比去年少的百分数是 ( A )
A．a%． B．(1+a)%． C. D.
2．甲杯中盛有2m毫升红墨水，乙杯中盛有m毫升蓝墨水，从甲杯倒出a毫升到乙杯里,
0＜a＜m，搅匀后，又从乙杯倒出a毫升到甲杯里，则这时 ( A )
A．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水少．
B．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水多．
C．甲杯中混入的蓝墨水和乙杯中混入的红墨水相同．
D．甲杯中混入的蓝墨水与乙杯中混入的红墨水多少关系不定．
3.已知数x=100,则( A )
A．x是完全平方数．B．(x－50)是完全平方数．
C．(x－25)是完全平方数．D．(x+50)是完全平方数．
4．观察图1中的数轴：用字母a，b，c依次表示点A，B，C对应的数,则 的大小关系是( C )
A. ; B. < < ; C. < < ; D. < < .
5．x=9，y=－4是二元二次方程2x2+5xy+3y2=30的一组整数解，这个方程的不同的整数解共有 ( )
A．2组． B．6组．C．12组． D．16组．
二、填空题（每题1分，共5分）
1．方程|1990x－1990|=1990的根是______．
2．对于任意有理数x，y，定义一种运算*，规定x*y=ax+by－cxy，其中的a，b，c表示已知数，等式右边是通常的加、减、乘运算．又知道1*2=3，2*3=4，x*m=x（m≠0），则m的数值是______．
3．新上任的宿舍管理员拿到20把钥匙去开20个房间的门，他知道每把钥匙只能开其中的一个门，但不知道每把钥匙是开哪一个门的钥匙，现在要打开所有关闭着的20个房间，他最多要试开______次．
4．当m=______时，二元二次六项式6x2+mxy－4y2－x+17y－15可以分解为两个关于x，y的二元一次三项式的乘积．
5．三个连续自然数的平方和（填“是”或“不是”或“可能是”）______某个自然数的平方．
三、解答题（写出推理、运算的过程及最后结果．每题5分，共15分）
1．两辆汽车从同一地点同时出发，沿同一方向同速直线行驶，每车最多只能带24桶汽油，途中不能用别的油，每桶油可使一辆车前进60公里，两车都必须返回出发地点，但是可以不同时返回，两车相互可借用对方的油．为了使其中一辆车尽可能地远离出发地点，另一辆车应当在离出发地点多少公里的地方返回？离出发地点最远的那辆车一共行驶了多少公里？
2．如图2，纸上画了四个大小一样的圆，圆心分别是A，B，C，D，直线m通过A，B，直线n通过C，D，用S表示一个圆的面积，如果四个圆在纸上盖住的总面积是5(S－1)，直线m，n之间被圆盖住的面积是8，阴影部分的面积S1，S2，S3满足关系式S3= S1= S2,求S．
3.求方程 的正整数解.
初中数学竞赛辅导
2．设a，b，c为实数，且｜a｜+a=0，｜ab｜=ab，｜c｜-c=0，求代数式｜b｜-｜a＋b｜-｜c-b｜＋｜a-c｜的值．
3．若m＜0，n＞0，｜m｜＜｜n｜，且｜x＋m｜＋｜x-n｜=m＋n， 求x的取值范围．
4．设(3x-1)7=a7x7＋a6x6+…+a1x1＋a0，试求a0+a2＋a4＋a6的值．
6．解方程2｜x+1｜+｜x-3｜=6．
8．解不等式｜｜x＋3｜-｜x-1｜｜＞2．
10．x，y，z均是非负实数，且满足： x＋3y＋2z=3，3x＋3y+z=4， 求u=3x-2y＋4z的最大值与最小值．
11．求x4-2x3＋x2+2x-1除以x2+x＋1的商式和余式．
13．如图1－89所示．AOB是一条直线，OC，OE分别是∠AOD和∠DOB的平分线，∠COD=55°．求∠DOE的补角．
14．如图1－90所示．BE平分∠ABC，∠CBF=∠CFB=55°，∠EDF=70°．求证：BC‖AE．
15．如图1－91所示．在△ABC中，EF⊥AB，CD⊥AB，∠CDG=∠BEF．求证：∠AGD=∠ACB．
17．如图1－93所示．在△ABC中，E为AC的中点，D在BC上，且BD∶DC=1∶2，AD与BE交于F．求△BDF与四边形FDCE的面积之比．
18．如图1－94所示．四边形ABCD两组对边延长相交于K及L，对角线AC‖KL，BD延长线交KL于F．求证：KF=FL．
19．任意改变某三位数数码顺序所得之数与原数之和能否为999？说明理由．
20．设有一张8行、8列的方格纸，随便把其中32个方格涂上黑色，剩下的32个方格涂上白色．下面对涂了色的方格纸施行“操作”，每次操作是把任意横行或者竖列上的各个方格同时改变颜色．问能否最终得到恰有一个黑色方格的方格纸？
23．房间里凳子和椅子若干个，每个凳子有3条腿，每把椅子有4条腿，当它们全被人坐上后，共有43条腿(包括每个人的两条腿)，问房间里有几个人？
24．求不定方程49x-56y+14z=35的整数解．
25．男、女各8人跳集体舞．
(1)如果男女分站两列；
(2)如果男女分站两列，不考虑先后次序，只考虑男女如何结成舞伴． 问各有多少种不同情况？
26．由1，2，3，4，5这5个数字组成的没有重复数字的五位数中，有多少个大于34152？
27．甲火车长92米，乙火车长84米，若相向而行，相遇后经过1.5秒(s)两车错过，若同向而行相遇后经6秒两车错过，求甲乙两火车的速度．
28．甲乙两生产小队共同种菜，种了4天后，由甲队单独完成剩下的，又用2天完成．若甲单独完成比乙单独完成全部任务快3天．求甲乙单独完成各用多少天？
29．一船向相距240海里的某港出发，到达目的地前48海里处，速度每小时减少10海里，到达后所用的全部时间与原速度每小时减少4海里航行全程所用的时间相等，求原来的速度．16
30．某工厂甲乙两个车间，去年计划完成税利750万元，结果甲车间超额15％完成计划，乙车间超额10％完成计划，两车间共同完成税利845万元，求去年这两个车间分别完成税利多少万元？
31．已知甲乙两种商品的原价之和为150元．因市场变化，甲商品降价10％，乙商品提价20％，调价后甲乙两种商品的单价之和比原单价之和降低了1％，求甲乙两种商品原单价各是多少？
32．小红去年暑假在商店买了2把儿童牙刷和3支牙膏，正好把带去的钱用完．已知每支牙膏比每把牙刷多1元，今年暑假她又带同样的钱去该商店买同样的牙刷和牙膏，因为今年的牙刷每把涨到1.68元，牙膏每支涨价30％，小红只好买2把牙刷和2支牙膏，结果找回4角钱．试问去年暑假每把牙刷多少钱？每支牙膏多少钱？
33．某商场如果将进货单价为8元的商品，按每件12元卖出，每天可售出400件，据经验，若每件少卖1元，则每天可多卖出200件，问每件应减价多少元才可获得最好的效益？
34．从A镇到B镇的距离是28千米，今有甲骑自行车用0．4千米/分钟的速度，从A镇出发驶向B镇，25分钟以后，乙骑自行车，用0．6千米/分钟的速度追甲，试问多少分钟后追上甲？
35．现有三种合金：第一种含铜60％，含锰40％；第二种含锰10％，含镍90％；第三种含铜20％，含锰50％，含镍30％．现各取适当重量的这三种合金，组成一块含镍45％的新合金，重量为1千克．
(1)试用新合金中第一种合金的重量表示第二种合金的重量；
(2)求新合金中含第二种合金的重量范围；
(3)求新合金中含锰的重量范围．
｜=-a，所以a≤0，又因为｜ab｜=ab，所以b≤0，因为｜c｜=c，所以c≥0．所以a＋b≤0，c-b≥0，a-c≤0．所以
原式=-b＋(a＋b)-(c-b)-(a-c)=b．
3．因为m＜0，n＞0，所以｜m｜=-m，｜n｜=n．所以｜m｜＜｜n｜可变为m＋n＞0．当x+m≥0时，｜x+m｜=x＋m；当x-n≤0时，｜x-n｜=n-x．故当-m≤x≤n时，
｜x＋m｜＋｜x-n｜=x＋m-x＋n=m＋n．
4．分别令x=1，x=-1，代入已知等式中，得
a0+a2＋a4＋a6=-8128．
10．由已知可解出y和z
因为y，z为非负实数，所以有
u=3x-2y+4z
11. 所以商式为x2-3x+3，余式为2x-4
12．小柱的路线是由三条线段组成的折线(如图1－97所示)．
我们用“对称”的办法将小柱的这条折线的路线转化成两点之间的一段“连线”(它是线段)．设甲村关于北山坡(将山坡看成一条直线)的对称点是甲′；乙村关于南山坡的对称点是乙′，连接甲′乙′，设甲′乙′所连得的线段分别与北山坡和南山坡的交点是A，B，则从甲→A→B→乙的路线的选择是最好的选择(即路线最短）
显然，路线甲→A→B→乙的长度恰好等于线段甲′乙′的长度．而从甲村到乙村的其他任何路线，利用上面的对称方法，都可以化成一条连接甲′与乙′之间的折线．它们的长度都大于线段甲′乙′．所以，从甲→A→B→乙的路程最短．
13．如图1－98所示．因为OC，OE分别是∠AOD，∠DOB的角平分线，又 ∠AOD+∠DOB=∠AOB=180°， 所以 ∠COE=90°．
因为 ∠COD=55°， 所以∠DOE=90°-55°=35°．
因此，∠DOE的补角为 180°-35°＝145°．
14．如图1－99所示．因为BE平分∠ABC，所以
∠CBF=∠ABF，
又因为 ∠CBF=∠CFB， 所以 ∠ABF=∠CFB．
从而 AB‖CD(内错角相等，两直线平行)．
由∠CBF=55°及BE平分∠ABC，所以 ∠ABC=2×55°=110°． ①
由上证知AB‖CD，所以 ∠EDF=∠A=70°， ②
由①，②知 BC‖AE(同侧内角互补，两直线平行)．
15．如图1-100所示．EF⊥AB，CD⊥AB，所以 ∠EFB=∠CDB=90°，
所以EF‖CD(同位角相等，两直线平行)．所以 ∠BEF=∠BCD(两直线平行，同位角相等)．
①又由已知 ∠CDG=∠BEF． ② 由①，② ∠BCD=∠CDG．
所以 BC‖DG(内错角相等，两直线平行)．
所以 ∠AGD=∠ACB(两直线平行，同位角相等)．
16．在△BCD中，
∠DBC＋∠C=90°(因为∠BDC=90°)，① 又在△ABC中，∠B=∠C，所以
∠A＋∠B＋∠C=∠A＋2∠C=180°，
所以 由①，②
17．如图1－101，设DC的中点为G，连接GE．在△ADC中，G，E分别是CD，CA的中点．所以，GE‖AD，即在△BEG中，DF‖GE．从而F是BE中点．连结FG．所以
又 S△EFD＝S△BFG-SEFDG=4S△BFD-SEFDG，
所以 S△EFGD=3S△BFD．
设S△BFD=x，则SEFDG=3x．又在△BCE中，G是BC边上的三等分点，所以 S△CEG=S△BCEE，
从而 所以 SEFDC=3x＋2x＝5x，
所以 S△BFD∶SEFDC=1∶5．
18．如图1－102所示．
由已知AC‖KL，所以S△ACK=S△ACL，所以
即 KF=FL． ＋b1=9，a+a1=9，于是a+b+c＋a1＋b1+c1=9＋9+9，即2(a十b＋c)=27，矛盾！
20．答案是否定的．设横行或竖列上包含k个黑色方格及8-k个白色方格，其中0≤k≤8．当改变方格的颜色时，得到8-k个黑色方格及k个白色方格．因此，操作一次后，黑色方格的数目“增加了”(8-k)-k=8-2k个，即增加了一个偶数．于是无论如何操作，方格纸上黑色方格数目的奇偶性不变．所以，从原有的32个黑色方格(偶数个)，经过操作，最后总是偶数个黑色方格，不会得到恰有一个黑色方格的方格纸．
21．大于3的质数p只能具有6k＋1，6k＋5的形式．若p=6k＋1(k≥1)，则p+2=3(2k＋1)不是质数，所以， p=6k＋5(k≥0)．于是，p＋1=6k＋6，所以，6｜(p＋1)．
22．由题设条件知n=75k=3×52×k．欲使n尽可能地小，可设n=2α3β5γ(β≥1，γ≥2)，且有 (α+1)(β+1)(γ＋1)=75．
于是α＋1，β+1，γ＋1都是奇数，α，β，γ均为偶数．故取γ=2．这时 (α+1)(β+1)=25．
所以 故(α，β)=(0，24)，或(α，β)=(4，4)，即n=20•324•52
23．设凳子有x只，椅子有y只，由题意得 3x＋4y+2(x+y)＝43，
即 5x+6y＝43．
所以x=5，y=3是唯一的非负整数解．从而房间里有8个人．
24．原方程可化为
7x-8y+2z＝5．
令7x-8y=t，t＋2z=5．易见x=7t，y=6t是7x-8y=t的一组整数解．所以它的全部整数解是
而t=1，z=2是t＋2z=5的一组整数解．它的全部整数解是
把t的表达式代到x，y的表达式中，得到原方程的全部整数解是
25．(1)第一个位置有8种选择方法，第二个位置只有7种选择方法，…，由乘法原理，男、女各有 8×7×6×5×4×3×2×1＝40320
种不同排列．又两列间有一相对位置关系，所以共有2×403202种不同情况．
(2)逐个考虑结对问题．
与男甲结对有8种可能情况，与男乙结对有7种不同情况，…，且两列可对换，所以共有 2×8×7×6×5×4×3×2×1=80640 种不同情况．
26．万位是5的有4×3×2×1=24(个)．
万位是4的有 4×3×2×1=24(个)．
万位是3，千位只能是5或4，千位是5的有3×2×1=6个，千位是4的有如下4个：
34215，34251，34512，34521．
所以，总共有 24+24＋6+4＝58
个数大于34152．
27．两车错过所走过的距离为两车长之总和，即 92＋84=176(米)．
设甲火车速度为x米/秒，乙火车速度为y米/秒．两车相向而行时的速度为x+y；两车同向而行时的速度为x-y，依题意有
解之得
解之得x=9(天)，x＋3=12(天)．
解之得x=16(海里/小时)．
经检验，x=16海里/小时为所求之原速．
30．设甲乙两车间去年计划完成税利分别为x万元和y万元．依题意得
解之得
故甲车间超额完成税利
乙车间超额完成税利
所以甲共完成税利400+60=460(万元)，乙共完成税利350+35=385(万元)．
31．设甲乙两种商品的原单价分别为x元和y元，依题意可得
由②有
0.9x+1.2y=148.5， ③
由①得x=150-y，代入③有
0. 9(150-y)＋1.2y＝148. 5，
解之得y=45(元)，因而，x=105(元)．
32．设去年每把牙刷x元，依题意得
2×1.68＋2(x+1)(1+30％)=[2x＋3(x+1)]-0.4，
即 2×1.68＋2×1.3+2×1.3x＝5x＋2.6，
即 2.4x=2×1.68，
所以 x=1.4(元)．
若y为去年每支牙膏价格，则y=1.4＋1=2.4(元)．
33．原来可获利润4×400=1600元．设每件减价x元，则每件仍可获利(4-x)元，其中0＜x＜4．由于减价后，每天可卖出(400+200x)件，若设每天获利y元，则
y＝(4-x)(400+200x)
＝200(4-x)(2+x)
=200(8＋2x-x2)
=-200(x2-2x+1)＋200+1600
=-200(x-1)2+1800．
所以当x=1时，y最大=1800(元)．即每件减价1元时，获利最大，为1800元，此时比原来多卖出200件，因此多获利200元．
34．设乙用x分钟追上甲，则甲到被追上的地点应走了(25+x)分钟，所以甲乙两人走的路程分别是0．4(25+x)千米和0．6x千米．因为两人走的路程相等，所以
0.4(25+x)=0.6x，
解之得x=50分钟．于是
左边=0.4(25＋50)=30(千米)，
右边= 0.6×50=30(千米)，
即乙用50分钟走了30千米才能追上甲．但A，B两镇之间只有28千米．因此，到B镇为止，乙追不上甲．
35．(1)设新合金中，含第一种合金x克(g)，第二种合金y克，第三种合金z克，则依题意有
(2)当x=0时，大500克．
(3)新合金中，含锰重量为：
x•40％＋y•10％+z•50％=400-0.3x，
y=250，此时，y为最小；当z=0时，y=500为最大，即250≤y≤500，所以在新合金中第二种合金重量y的范围是：最小250克，最
而0≤x≤500，所以新合金中锰的重量范围是：最小250克，最大400克．
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