Question

数学习题练习

一个四面体的所有棱长都为根号下2。四个顶点在同一球面上，则此球的表面积？
这个解法中： 构造正方体
设正方体ABCD-A1B1C1D1的边长为1
则四面体D1-AB1C
为正四面体，棱长为√2，
正方体的外接球与正四面体的外接球一样，
直径为对角线，为√3
半径为R=√3/2
S=4πR²=3π
我想问：构造的正方体的边长不是以四面体为基础构造的吗？边长为什么不是根号2?
这里我很不理解，请帮忙详细解答。P.S.锥体的棱长是指哪里？包括侧棱吗？

Answer 1

不是的
构造的正方体，只是包含了原4面体的四个顶点。
这4个顶点是构造的正方体的关于中心对称的4个顶点。两两位于正方形一个面的对角线上。
如果先构造一个正方体的话，那么选取相对两个面的两条不平行的对角线。以对角线占据的4个顶点构造一个四面体，和题目中的情形是一样的。
所以，四面体的边长是正方体某个面的对角线。
不知你明白了么？

Answer 2

构造的正方体，只是包含了原4面体的四个顶点。
这4个顶点是构造的正方体的关于中心对称的4个顶点。两两位于正方形一个面的对角线上。
如果先构造一个正方体的话，那么选取相对两个面的两条不平行的对角线。以对角线占据的4个顶点构造一个四面体，和题目中的情形是一样的。
所以，四面体的边长是正方体某个面的对角线。
多简单，多抽象想想

Answer 3

不是的
构造的正方体，只是包含了原4面体的四个顶点。
这4个顶点是构造的正方体的关于中心对称的4个顶点。两两位于正方形一个面的对角线上。
如果先构造一个正方体的话，那么选取相对两个面的两条不平行的对角线。以对角线占据的4个顶点构造一个四面体，和题目中的情形是一样的。
所以，四面体的边长是正方体某个面的对角线。

Answer 4

构造的正方体，只是包含了原4面体的四个顶点。
这4个顶点是构造的正方体的关于中心对称的4个顶点。两两位于正方形一个面的对角线上。
如果先构造一个正方体的话，那么选取相对两个面的两条不平行的对角线。以对角线占据的4个顶点构造一个四面体，和题目中的情形是一样的。
所以，四面体的边长是正方体某个面的对角线。