Question

导数 极值

Answer 1

（一）函数的极值的定义
　　一般地，设函数在点及其附近有定义，
　　（1）若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值，记作
　　　　 ；
　　（2）若对附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值，记作
　　　　 .
　　极大值与极小值统称极值.
　　在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.
　　注意：由函数的极值定义可知：
　　（1）在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，否则无从比较.
　　（2）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定义域内可
　　　　 能有多个极值，也可能无极值.由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大
　　　　 或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.
　　（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.极小值不一定是整
　　　　 个定义区间上的最小值.
　　（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值
　　　　 的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.

（二）求函数极值的的基本步骤：
　　①确定函数的定义域；
　　②求导数；
　　③求方程的根；
　　④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右
　　　正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)
　　注意：
　　①可导函数的极值点一定是导函数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点.即是可导函数
　　　在点取得极值的必要非充分条件.例如函数y=x3，在x=0处，，但x=0不是函数的极
　　　值点.
　　②可导函数在点取得极值的充要条件是且在两侧，的符号相异。

函数的最值
（一） 函数的最大值与最小值定理
　　若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值.如.
　　注意：
　　①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。
　　②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。

（二）求函数最值的的基本步骤：
　　若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下：
　　（1）求函数在内的导数；
　　（2）求方程在内的根；
　　（3）求在内使的所有点的函数值和在闭区间端点处的函数值，；
　　（4）比较上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者为函数
　　　　 在闭区间上的最小值.
　　注意：
　　①求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数
　　　值进行比较即可。
　　②若在开区间内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值
（三）最值理论的应用
　　解决有关函数最值的实际问题，导数的理论是有力的工具，基本解题思路为：
　　（1）认知、立式：
　　　 　分析、认知实际问题中各个变量之间的联系，引入变量，建立适当的函数关系；
　　（2）探求最值：
　　　　 立足函数的定义域，探求函数的最值；
　　（3）检验、作答：
　　　　 利用实际意义检查（2）的结果，并回答所提出的问题，特殊地，如果所得函数在区间内只有一个
　　　　 点满足，并且在点处有极大（小）值，而所给实际问题又必有最大（小）
　　　　 值，那么上述极大（小）值便是最大（小）值.
2．最值与极值的区别与联系
　　①函数的最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的（具有绝对性），是整个定义域上的整体
　　　性概念。最大值是函数在整个定义域上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义域上所有函
　　　数值中的最小值.函数的极大值与极小值是比较极值点附近两侧的函数值而得出的（具有相对性），
　　　是局部的概念；
　　②极值可以有多个，最大(小)值若存在只有一个；极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；最大
　　　（小）值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值；
　　③有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值.

Answer 2

当f'(x)>0 为增函数 <0为减函数 在负无穷到正无穷中 先减后增极小值 现增后减极大值

Answer 3

取最小或最大的值