Question

【数学】已知函数f（x）=[2x²-kx+k]∕e^x

（1）k为何值，函数f（x）无极值；（2）试确定k的值，使函数f（x）的极小值为0.
急求（2）的详细解答过程

Answer 1

f'(x)=－e^(－x)【2x^2－(k+4)x+2k】，由二次函数的性质知道，若f(x)有极小值，则必然有
f'(x)先小于0，后大于0，再小于0，于是f(x)先递减，后递增，再递减。
故f'(x)=0的比较小的根是极小值点。设为a，即有
f'(a)=0，f(a)=0，或
2a^2－(k+4)a+2k=0，
2a^2－ka+k＝0，两式相减得k＝4a，代入第二个方程解得解为
a＝0，k＝0或a＝2，k＝8。验证：
当k＝0时，f'(x)=－e^(－x)(2x^2－4x)，x＝0是极小值点，f(0)=0。
当k＝8时，f'(x)=－e^(－x)(2x^2－12x+16)，x＝2是极小值点。f(2)=0。
综上，k＝0或k＝8。

追问

（-∞，k/2)增减性如何判断 有没有简便的方法

追答

k＝0时，f'(x)=－2e^(－x)x(x－2)，在(负无穷，0)上小于0，f(x)递减；在(0，2)上递增，在(2，正无穷)上递减。
k＝8时，f'(x)=－2e^(－x)(x－2)(x－4)，在(负无穷，2)上小于0，f(x)递减；
在(2，4)上递增，在(4，正无穷)上递减。

Answer 2

函数求导得f‘（x）=【-2x^2+(k+4)x-2k】*e^(-x)
设当x=a时，有极小值
则f‘（a）=0即-2a^2+(k+4)a-2k=0
又因为极小值为0所以f（a）=0即2a^2-ka+k=0
解得k=0或8

追问

（-∞，k/2)增减性如何判断 有没有简便的方法

追答

对f‘（x）再求导，然后把极值点的横坐标带进去，如为正则是极小值