Question

①lim(x→∞)sin(1/x)/(1/x)等于多少？②lim(x→0)sin(1/x)/(1/x)等于多少？

③lim(x→∞)(sinx)/x等于多少?④lim(x→0)(sinx)/x=1这个是重要极限。关键是上面三个一直不是很理解 求高手来解答. 最后给出具体为什么？

Answer 1

答案分别是是1，0，0，1
①
lim(x-->∞) sin(1/x)/(1/x)，当x-->∞时，1/x-->0，是「0/0」的形式，所以
= lim(y-->0) siny/y，若果设y = 1/x，x-->∞ <=> y-->0
= 1
②
lim(x-->0) sin(1/x)/(1/x)，当x-->0时，1/x-->∞，是「有界函数/∞」的形式，相当於「常数/∞」
sin(1/x)是有界函数，当x-->0，这个函数会在[-1，1]之间不断波动，没有定值，当是常数项处理
但对於分母，当1/x-->∞，常数/(1/x) = 常数/∞ = 0，带动整个分式趋向0
如果设y = 1/x，x-->0 <=> y-->∞
= lim(y-->∞) siny/y，跟第③题相同
所以该极限 = 0
③
lim(x-->∞) sinx/x，当x-->∞时，sinx的取值也是不定的，在[-1，1]之间震动，主要看分母
当x-->∞时，常数/x = 0，道理跟上面那题一样的
所以该极限 = 0
④
lim(x-->0) (sinx)\x = 1，这个不需要解释吧，用夹逼定理夹出来的。

Answer 2

因为我们追其根本 也就是图形 可以看出 f(x)=sinx和f(x)=x交与 (0,0) 再研究下去也就是在原点处的切线 他们是一样的 斜率都是1 所以 求极限也就是求他们切线的斜率 也就是说limx->0 sinx 和 linx->0 x 答案是一样的 都等于1 所以1/1 也就是1 而x->0 的sinx 和x->∞sin(1/x) 是一样的 都为1

再来看你给出的4条 1: 为1 2: 无解 3 无解 4: 为1

Answer 3

其实第一问和第四问是一个问题。。其极限都是1. 可以通过罗比达法则求解。
二和三是一个问题。可以根据“无穷小和有界函数的乘积是无穷小”其极限是0