Question

已知函数f(x)=x的平方-ax-aln(x-1)(a属于R) 1)当a=1时，求函数f(x)的最小值； 2)求函数f(x)的单调区间；

Answer 1

解：1、a=1时：
f(x)=x^2-x-ln(x-1)，（x>1）
f'(x)=2x-1/(x-1)-1
令f'(x)=0得：
x=3/2或x=0(舍)
所以f(x)的单调地减区间为：(1,3/2)
担单调递增区间为(3/2,正无穷）
最小值为f[(3)/2]=3/4+ln2
2、f'(x)=2x-1-a/(x-1)
令f'(x)=0
再分类讨论：
f'(x)=0无解时如何
有解时如何

Answer 2

已知函数f(x)=x的平方-ax-aln(x-1)(a属于R) 1)当a=1时，求函数f(x)的最小值； 2)求函数f(x)的单调区间；
(2)解析：∵函数f(x)=x^2-ax-aln(x-1)，其定义域为x>1
当a=0时，f(x)=x^2
∴在定义域内，函数f(x)单调增；
当a>0时
令f’(x)=2x-a-a/(x-1)=[2x^2-(2+a)x]/(x-1)=0
X1=0(舍), x2=(2+a)/2
f’’(x)=2+a/(x-1)^2>0
∴函数f(x)在x2处取极小值；
即x∈(1,1+a/2)，函数f(x)单调减；x∈[1+a/2,+∞)，函数f(x)单调增；
当a<0时
令f’(x)=2x-a-a/(x-1)>0
即x∈[1,+∞)，函数f(x)单调增；

(1)解析：由(2)知，当a=1时，函数f(x)在x2=3/2处取极小值
f(3/2)=9/4-3/2-ln(1/2)=3/4+ln2